L Hopital Regel, wo ist der Fehler?

Question

Aufgabe:

L Hopital Regel, wo ist der Fehler?

Problem/Ansatz:

d) Wo steckt der Fehler in der folgenden Rechnung?
\( \lim \limits_{x \rightarrow 1} \frac{x^{2}+3 x-4}{2 x^{2}-2 x}=\lim \limits_{x \rightarrow 1} \frac{2 x+3}{4 x-2}=\lim \limits_{x \rightarrow 1} \frac{2}{4}=\frac{1}{2} . \)

\( \lim \limits_{x \rightarrow 1} \frac{x^{2}+3 x-4}{2 x^{2}-2 x}=\lim \limits_{x \rightarrow 1} \frac{2 x+3}{4 x-2}=\lim \limits_{x \rightarrow 1} \frac{2}{4}=\frac{1}{2} \)

Ich weiß, wenn ich den Wert 1 in das zweite Ergebnis packe kommt 5/2 raus und ich gehe davon aus, dass dies das richtige Ergebnis ist. Aber wieso genau ist 1/2 falsch? Also wo genau wurde der Fehler gemacht?

Answer 1

\(\lim \limits_{x \rightarrow 1} \frac{x^{2}+3 x-4}{2 x^{2}-2 x}=\lim \limits_{x \rightarrow 1} \frac{2 x+3}{4 x-2}=\lim \limits_{x \rightarrow 1} \frac{2}{4}=\frac{1}{2} . \)

Wenn du schon bei \( \frac{2x+3}{4x-2} \)   x=1  einsetzt , erhältst du \( \frac{2+3}{4-2} \)=2,5

Du hast aber dort "quasi unerlaubt" mit dem L´Hospital weitergemacht.

Comments

sprich weil bei der Urspungsfunktion 0/0 rauskommt, wenn ich 1 einsetze und das Ergebnis somit undefiniert ist kann ich die L'hospital Regel anwenden, weil aber bei ersten mal anwenden das Ergebnis nun mit 5/2 bzw 2,5 definiert ist, kann ich die Regel nicht nochmal anwenden?

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Du darfst die Regel nicht anwenden, weil  \( \frac{2+3}{4-2} \)=\( \frac{5}{2} \)≠\( \frac{0}{0} \) ist.

Answer 2

Die Krankenhausregel gilt für den Fall 0/0.

Dieser Fall ist bei (2x-3)/(4x-2) nicht mehr gegeben, also darfst du die Regel nicht noch einmal anwenden.

Answer 3

Ich weiß nicht wie du nach der ersten Anwendung
von l´Hospital auf 1/2 kommst ?

Nach der Anwendung von l´Hospital hat man
( 2x + 3 ) / ( 4x - 2)
lim x -> 1 [ ( 2x + 3 ) / ( 4x - 2) ] = 5/2

Und damit bist du fertig.