Wie kann ich für diese Teilaufgabe zeigen, dass det(a) = det(B) ist?

Question

Hey,

ich habe folgende Teilaufgabe vor mir. Wir sollen zeigen dass det(B) = det(A) ist , wenn für B gilt:

B_i,j  = (-1)^i+j  * A_i,j   (1<=i<=n, 1<=j<=n)

Wie kann ich zeigen dass det (B) = det (A) ist?

Ich freue mich über jede hilfreiche Antwort :)

Answer 1

Wir verwenden die Leibniz-Formel für die Determinante:

\(\det(B)=\sum_{\pi \in S_n}sign(\pi)b_{1,\pi(1)}\cdots b_{n,\pi(n)} = \)

\(=\sum_{\pi \in S_n}sign(\pi)(-1)^{1+\pi(1)}a_{1,\pi(1)}\cdots (-1)^{n+\pi(n)}a_{n,\pi(n)}=\)

\(=\sum_{\pi \in S_n}sign(\pi)(-1)^{1+\pi(1)+\cdots+n+\pi(n)}a_{1,\pi(1)}\cdots a_{n,\pi(n)}\).

Da \(\pi(i)\) dieselben Zahlen wie \(i\) genau einmal durchläuft,

kommt in der Summe \(s=1+\pi(1)+\cdots + n+\pi(n)\)

jede Zahl \(1,\cdots,n\) zweimal vor,

d.h. diese Summe ist gerade, also \((-1)^s=1\), q.e.d.