Aufgabe:
(a) Man überprüfe, ob die folgenden Mengen \( V \) Vektorräume über dem Körper \( \mathbb{R} \) mit der üblichen skalaran Multiplikation und Addition sind:
(i) \( V=\left\{x \in \mathbb{R}^{n}: x_{1} \cdot \ldots \cdot x_{n}=0\right\} \) mit \( n \in \mathbb{N} \)
(ii) \( V=\left\{\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right) \in \mathbb{R}^{4}: x_{1} \in \mathbb{Q}\right\} \)
(b) Sei \( V=(0, \infty)=\{x \in \mathbb{R}: x>0\} \). Für \( \lambda \in \mathbb{R} \) und \( u, v \in V \) definieren wir
u \( \oplus \) v := uv ,
\(\lambda \odot \) u := u\(^{\lambda} \) .
Man beweise oder widerlege, ob \( (V, \oplus, \odot) \) ein Vektorraum über \( \mathbb{R} \) ist.
Problem/Ansatz:
Hilfe wäre super am besten mit Rechenweg, Danke
