Es sei \( \mathbb{K} \) ein Körper.
a) Finden Sie eine Matrix \( A \in \mathbb{K}^{2 \times 2} \), sodass für die lineare Abbildung
\(\phi: \mathbb{K}^{2} \rightarrow \mathbb{K}^{2}, x \mapsto A x\)
gilt, dass \( \phi \neq 0 \) und \( \phi^{2}:=\phi \circ \phi=0 \).
b) Es sei \( V \) ein \( \mathbb{K} \)-Vektorraum und \( \psi: V \rightarrow V \) eine lineare Abbildung und es gelte \( \psi^{k} \neq 0 \) und \( \psi^{k+1}=0 \) für ein \( k>0 \). Zeigen Sie, dass es ein Element \( x \in V \) gibt, sodass die Menge \( \left\{x, \psi(x), \cdots, \psi^{k}(x)\right\} \) linear unabhängig ist.
