Rutsche im Freizeitpark

Question

Bei der Konzeption eines neuen Freizeitparks wird u. a. auch eine neue Attraktion entwickelt: die steilste Rutsche der Welt. Diese Rutsche soll aus einem hyperbelförmigen Anfangsstück und einem linearen Endstück zusammengesetzt werden. Der erste Teil der Rutsche kann durch die Funktion f:[1;x₀]→R, f(x)=2/x^5 modelliert werden. Dabei gibt x die Länge auf dem Boden in Metern an und f(x)die Höhe der Rutsche an der entsprechenden Stelle in 10-Meter-Einheit. Der zweite lineare Teil soll tangential an der Stelle x₀ ansetzen und 11 Meter weiter (bei x₁) auf dem Boden enden.Bestimmen Sie, an welcher Stelle x₁ die Rutsche endet

Answer 1

du weisst die Gerade geht durch (x0,f(x0)) hat die Steigung f'(xo) und schneidet die x- Achse bei x1=x0+1,1 (1,1 statt 11, weil da steht x in 10m Einheiten.

Gruß lul

Comments

Ich hänge nun bei der selben Aufgabe. Was wäre die genaue Vorgehensweise bei der Rechnung?

---

Was wäre die genaue Vorgehensweise bei der Rechnung?

aus

Der zweite lineare Teil soll tangential an der Stelle x0 ansetzen ...

folgt die Gleichung des Geradenstücks, das in \(x_0\) beginnt:$$g(x)=f'(x_0)(x-x_0) + f(x_0)$$

... und 11 Meter weiter (bei x1) auf dem Boden enden.

$$g(x_1)=0 \quad x_1=x_0+1,1$$Für \(f(x)= 2/x^5\) ausrechnen gibt dann \(x_0=5,5\).

Sieht aber etwas komisch aus:

https://www.desmos.com/calculator/sksjmtfdzd

Den Punkt \(x_0\) kann man mit der Maus verschieben.

---

Sieht aber etwas komisch aus

Das Aussehen ändert sich nicht und somit verliert sich auch die Komik nicht, wenn man (wie sich aus dem Aufgabentext ergibt) alle Maße mit dem Faktor 10 vergrößert (man beachte, dass es sich um eine Rutsche im Freizeitpark und nicht auf dem Kinderspielplatz handelt).

---

Danke, aber wie kommt man von 2/x^5 auf 5,5?

---

Danke, aber wie kommt man von 2/x5 auf 5,5?

$$f(x)=\frac{2}{x^5} \\ f'(x) = -\frac{10}{x^6} \\g(x)=f'(x_0)(x-x_0) + f(x_0) \\ \phantom{g(x)}=-\frac{10}{x_0^6}(x-x_0)+ \frac{2}{x_0^5} \\ g(x_1)=0 \quad x_1 = x_0 + 1,1 \\ \begin{aligned} -\frac{10}{x_0^6}(x_0 + 1,1-x_0)+ \frac{2}{x_0^5} &= 0\\ -\frac{10}{x_0^6}(1,1)+ \frac{2}{x_0^5} &= 0\\ \frac{2}{x_0^5} &= \frac{10}{x_0^6}(1,1)&&|\,\cdot x_0^6\\ 2x_0 &= 10\cdot(1,1)\\ x_0 &= 5,5 \\ \end{aligned}$$

---

Also endet die Rutsche bei 6,06 Meter?

---

Also endet die Rutsche bei 6,06 Meter?

Nein bei \(x_1 = x_0+1,1\to(5,5+1,1)\cdot 10\text m = 66\text m\)

---

Nach 6,06 m ist man allerdings nur noch weniger als 3 mm vom Boden entfernt. Die Rutsche muss ziemlich gut geschmiert sein, wenn man das Ende in 60 m Entfernung noch erreichen will.

---

Hallo Gast hj

Gast du wirklich sie Illusion, dass heutige Schulaufgaben wirklichkeitsnahe sind??

lul