Teilmenge der komplexen Matrizen und Vektor

Question

Aufgabe:

Betrachten Sie die folgende Teilmenge der komplexen Matrizen:
V = {

a	b
c	d

∈ ℂ^2x2 |a + d ∈R }

a) Zeigen Sie, dass V mit der Skalarmultiplikation und Vektorraumaddition von C2×2 kein
komplexer Vektorraum ist.
b) Zeigen Sie, dass V ein reeller Vektorraum ist.
c) Bestimmen Sie eine linear unabhängige Menge von sieben Vektoren aus V.

Problem/Ansatz:

Ich bitte um Hilfe. Danke!

Answer 1

a)  Wäre es einer, dann müsste mit jedem Element x aus V

auch i*x aus V sein. Das gilt schon für die Einheitsmatrix nicht.

b) Alle komplexen Matrizen bilden ja auch einen R-Vektorraum.

Dieses hier wäre ein Unterraum davon, du musst also nur

zeigen:

0-Matrix ist drin (Ja, denn 0+0 ist aus R)

Summe zweier Matrizen ist drin. (Ja, denn wenn bei jeder

einzelnen die Diagonalsummen (a1+d1 ) und (a2+d2) reell

sind, dann auch die der Summenmatrix, denn das gibt ja

(a1+a2+d1+d2).

Beim Multiplizieren mit reellen Faktoren ist es auch passend.

Comments

wie schreibe bzw. beweise ich es vollständig?

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Du musst nur die Hnweise noch etwas

ausführen:

Bei a) etwa so:

Ein Gegenbeispiel ist die Einheitsmatrix E.

Diese ist aus V, denn 1+1=2 ∈ℝ.

Aber i*E hat in der Hauptdiagonale die

Werte i und i , deren Summe ist 2i∉ℝ

also i*E ∉ V.

Wäre V ein ℂ-Vektorraum müsste aber für jedes

X∈V auch i*X ∈V sein.