> Soll ich denn jetzt für alle Konstellationen von M22 den Rang berechnen?
Das ist nicht praktikabel, weil es so schreckich viele Matrizen in M22(ℝ) gibt.
> Ehrlich gesagt, ich verstehe auch die Aufgabenstellung nicht!
Du sollst dich zwischen den beiden Alternativen "X1 ist eine Unterraum" und "X1 ist kein Unterraum" entscheiden und diese Entscheidung begründen.
Unterräume sind abgeschlossen bezüglich der Addition, das heißt wenn du zwei Matrizen aus dem selben Unterraum addierst dann liegt das Ergebnis ebenfalls in diesem Unterraum.
Die Matrizen \( \begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix} \) und \( \begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix} \) liegen in X1 weil beide den Rang 1 haben. Deren Summe ist \( \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} \). Die Matrix \( \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} \) liegt nicht in X1, weil sie den Rang 2 hat. Also ist X1 nicht abgeschlossen bezüglich der Addition. Also ist X1 kein Unterraum.
> Was ist mit Teilmenge X1, X2, X3 und X4 gemeint?
- Die Menge X1 ist die Menge aller Matrizen aus M22(ℝ), die den Rang 1 haben.
- Die Menge X2 ist die Menge aller Matrizen aus M22(ℝ), die den Rang 0 haben.
- Die Menge X3 ist die Menge aller Matrizen aus M22(ℝ), die die Gleichung \( A\cdot A+A = \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} \) erfüllen.
- Die Menge X4 ist die Menge aller Matrizen aus M22(ℝ), in denen der Eintrag rechts oben gleich dem Eintrag links unten ist.
