Spiegelbild einer Gerade an einer Ebene bestimmen (R^3)

Question

Aufgabe:

Im \( \mathbb{R}^{3} \) sei \( E \) die Ebene durch die Punkte \( P_{1}=(0,0,3), P_{2}=(0,3,0), P_{3}=(1,1,0) \).
(a) Berechnen Sie die Hessesche Normalform von \( E \).
(b) Bestimmen Sie das Spiegelbild der Geraden \( g=P+\mathbb{R} v \) an \( E \), wobei \( P=(1,2,3) \) und \( v=(3,2,1) \).

Problem/Ansatz:

a) Ich hab folgendes raus:  n= 1/√6 *(2,1,1)  E: \( \frac{3}{√6} \)=  \( \frac{2}{√6} \)x₂+ \( \frac{1}{√6} \)x₂+ \( \frac{1}{√6} \)

b) Wie geh ich vor?

Answer 1

Bei der Hesse-Form brauchst du auch der einen

Seite eine 1, kannst  die Ebene also so  schreiben:

  E:   (2/3)x + (1/3)y + (1/3)z = 1

Dann den Schnittpunkt von Gerade und Ebene bestimmen

Es ist ja g : \( \vec{x}=\begin{pmatrix} 1\\2\\3 \end{pmatrix}   +t \cdot  \begin{pmatrix} 3\\2\\1 \end{pmatrix} \)

Bei E einsetzen (2/3)(1+3t) + (1/3)(2+2t) + (1/3)(3+1t) = 1

gibt t=-4/9 und damit bekommst du den Schnittpunkt. Der ist gemeinsamer

Punkt von g und dem Spiegelbild.

Dann einen anderen Punkt von g spiegeln, z.B. den für t=1 , das ist Q(4;4;4).

Bei Q hängst du s * einen Normalenvektor (z.B. 2;1;1)^T )von E dran

und bekommst so eine Gerade k, die du mit E schneidest.

Ich bekomme da s= -13/6, damit hast du den Schnittpunkt des

Lotes von Q auf E, sagen wir mal F. Und das Spiegelbild

von Q bekommst du durch Q + 2*QS .

Comments

... anbei das Bild zur Aufgabe.

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dankeschön euch beiden;)

Beim Berechnen des Schnittpunktes von g und E habe ich ein anderes Ergebnis. Wo liegt der Fehler?

(2/3)(1+3t) + (1/3)(2+2t) + (1/3)(3+1t) = 1

ausmultiplizieren:

1= \( \frac{2}{3} \)+\( \frac{3t}{3} \)+\( \frac{2}{3} \)+\( \frac{2t}{3} \)+\( \frac{3}{3} \)+\( \frac{t}{3} \)

↔1=\( \frac{7}{3} \)+\( \frac{6t}{3} \) /-\( \frac{7}{3} \)

↔\( \frac{6t}{3} \) =\( \frac{3}{3} \) -\( \frac{7}{3} \) ↔ \( \frac{6t}{3} \)=\( \frac{-4}{3} \) /:\( \frac{6}{3} \)

↔t=\( \frac{-4}{3} \)*\( \frac{3}{6} \) / gekürzt 3

↔t= \( \frac{-4}{6} \) --> \( \frac{-2}{3} \)

somit habe ich als Schnittpunkt S= \( \frac{1}{3} \)*\( \begin{pmatrix} -3\\2\\7 \end{pmatrix} \)

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Der Schnittpunkt der Geraden k mit E habe ich hingekriegt.

k=Q+s*n  k=\( \begin{pmatrix} 4\\4\\4 \end{pmatrix} \)+s*\( \begin{pmatrix} 2\\1\\1 \end{pmatrix} \)

s=\( \frac{-13}{6} \)

Bei der Spiegelung von Q war ich mir unsicher

Q+2*Qs

Soll das Qs ein Vektor sein, sodass es nochmal eine Gerade ergibt. s ist aber ja eine Konstante und kein Vektor.

Außerdem kann ich die Formel nicht nachvollziehen. Bin verwirrt.

Q´=\( \begin{pmatrix} 4\\4\\4 \end{pmatrix} \)+2*\( \begin{pmatrix} 4\\4\\4 \end{pmatrix} \)*\( \frac{-13}{6} \)

Q´=\( \frac{1}{3} \)*\( \begin{pmatrix} -40\\-40\\-40 \end{pmatrix} \)

Somit habe ich als gspiegelte Gerade:

\( \frac{1}{3} \) *\( \begin{pmatrix} -3\\2\\7 \end{pmatrix} \)+t*\( \frac{1}{3} \)*\( \begin{pmatrix} -40\\-40\\-40 \end{pmatrix} \)

Ist das soweit korrekt?

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(2/3)(1+3t) + (1/3)(2+2t) + (1/3)(3+1t) = 1

ausmultiplizieren:

\(1=\frac{2}{3} \)+\( \frac{3t}{3} \)+\( \frac{2}{3} \)+\( \frac{2t}{3} \)+\( \frac{3}{3} \)+\( \frac{t}{3} \)

↔1=\( \frac{7}{3} \)+\( \frac{6t}{3} \) /-\( \frac{7}{3} \)

besser:$$1=\frac{2}{3}+ \frac{{\color{red}6}t}{3}+ \frac{2}{3} + \frac{2t}{3}+\frac{3}{3}+ \frac{t}{3} \\ \implies 3 = 7 + 9 t \\ \implies t = -\frac 49$$

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Danke! ! Hab es so oft durchgeschaut, aber einfach nicht gefunden

Ist den der gespiegelte Punkt Q' denn korrekt?

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Bei der Spiegelung von Q war ich mir unsicher
Q+2*Qs

Das \(QS\) soll eigentlich \(QF\) heißen und ist der Vektor vom Punkt \(Q\) zum Punkt \(F\). \(F = k(s=-13/6)\) ist der Schnittpunkt der Geraden \(k\) mit der Ebene \(E\). Zum besseren Verständnis habe ich Dir das noch mal eingezeichnet (klick auf das Bild!)

Die Strecke \(|QQ'| = 2|QF|\) ist lila markiert. Der Punkt \(F\) ist$$F=\frac 16\begin{pmatrix}-2\\ 11\\ 11\end{pmatrix}$$Und für \(Q'\) habe ich$$Q' = Q + 2\vec{QF} = \begin{pmatrix}4\\ 4\\ 4\end{pmatrix} + 2\cdot \frac 16\begin{pmatrix}-26\\ -13\\ -13\end{pmatrix}= \frac 13\begin{pmatrix}-14\\ -1\\ -1\end{pmatrix}$$

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Ist den der gespiegelte Punkt Q' denn korrekt?

Du kannst sowas leicht überprüfen, wenn Du Dein Ergebnis in das Geoknecht3D-Script, was ich Dir geliefert habe, als Punkt einträgst. In diesem Fall fügst Du die Zeile hinzu:

punkt(-13.333|-13.333|-13.333 "Q'")

.. womit Du dann siehst, dass Du falsch liegst :-/

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Danke für die ausführliche Antwort, top;)