lineare Gleichung mit Betragsfunktion lösen

Question

Betragsfunktion:

|x+1| = |x-1|

Ich hab nur vergessen wie man vor geht und aufschreibt.

Ich brauch doch 4 fälle oder?

Einmal

+ + + +

+ + + -

+ + - +

+ - + +

- + + +

- - - -

Das wären jetzt 6 fälle.

Wenn ich es graphisch löse wären das ja bei x=0

Comments

Ich hab das mal so gemacht

-(x+1)=(x-1)

Dann

(X+1)=-(x-1)

Dann

-(x+1)=-(x-1)

Und zu letzt

(x+1)=(x-1)

Ist dann richtig so oder? :)

Answer 1

Aloha :)

Du solltest vor einer eventuellen Fallunterscheidung die Gleichung vereinfachen:$$\left|x+1\right|=\left|x-1\right|$$Wegen \(|1+1|\ne|1-1|\) ist \(x=1\) sicher keine Lösung. Daher sei im Folgenden \(x\ne1\).

Dann können wir die Gleichung durch \(|x-1|\) dividieren:$$1=\frac{\left|x+1\right|}{\left|x-1\right|}=\left|\frac{x+1}{x-1}\right|=\left|\frac{(x-1)+2}{x-1}\right|=\left|1+\frac{2}{x-1}\right|\implies1+\frac{2}{x-1}=\pm1$$Damit hast du 2 Fälle:$$1+\frac{2}{x-1}=+1\implies\frac{2}{x-1}=0\implies 2=0\implies\text{keine Lösung}$$$$1+\frac{2}{x-1}=-1\implies\frac{2}{x-1}=-2\implies2=-2x+2\implies 0=-2x\implies x=0$$

~plot~ abs(x+1) ; abs(x-1) ; {0|1} ; [[-4|5|-1|5]] ~plot~

Comments

Ist mein vorgehen also falsch?

Text erkannt:

(Fiils)
\( \begin{array}{l|c|c} (x+1)=(x-1) & -(x+1)=x-1 & (x+1)=-(x-1) \\ 2=0 & -x=1=x-1 & x+1=-x+1 \\ l & -2 x=0 & 2 x=0 \\ x=0 & x=0 & -x-1=-x+1 \\ & |2 x+4|=-\left(x^{2}-x-6\right) & 0=2 \\ & & \end{array} \)

---

Nein, das kannst du bei diesem einfachen Beispiel durchaus so machen. Passt so!

Wenn die Terme komplizierter werden, bekommst du aber Probleme, die Fälle zu sehen. Dann ist es besser, die Terme vorab zu vereinfachen.

---

Verstehe :)

Macht auch sinn :)

---

|x-a| gibt an, wie weit x und a voneinander entfernt sind. Du musst dich also nur fragen, welche Zahl von -1 und von 1 gleichweit entfernt ist : In der Mitte zwischen -1 und 1 liegt 0. Fertig.

Answer 2

| x+1| = |x-1|
beide Seiten quadrieren
( x+1 )^2 =  (x-1)^2
x^2 + 2x + 1 = x^2 - 2x + 1
2x = -2x
x = -x
x = 0

Comments

Nicht vergessen: Quadrieren ist keine Äquivalenzumformung.

Hier scheint das aber wurscht zu sein. :)

@Georg:

Heute ist Freitag. Falls du katholisch bist, keine Wurst essen, falls du

der himmlischen Freuden mit Sekt und kaltem Wurst-Buffet nicht verlustig gehen willst. :)

Spruch des Tages:

Lieber mit Warren Buffett erfolgreich spekulieren und dinieren als am kalten Buffet

auf die Linie achten zu müssen. :))

Wer weiß die Börsenkursen von morgen,

wäre schnell los alle pekuniären Sorgen,

sofern genug Geld er hat auf der Seite

für den Fall, dass auch Warren geht pleite.

---

Das null eine richige Lösung ist sieht ein
Blinder mit einem Krückstock.

Aus eigener Erfahrung mit Aktien
short = kurfristige Geldanlage
long = langfristige Kapitalanlage
" Ob long ob short das Geld ist fort. "
( alter Spekulantenspruch )

---

Vielen Dank :)

Answer 3

Es gibt nur 3 Fälle:

1. x<-1

2. -1< x =<1

3. x>= 1

1. -x-1= -x +1

-1= 1 (keine Lösung)

2. x+1 = -x+1

2x=0

x= 0 -> L ={0}

3. x+1 = x-1

1= -1 (keine Lösung)

-> L= {0}

Comments

Vielen Dank :)