Zeigen Sie per Induktion die folgenden Aussage:

Question

Aufgabe: Seien a, b Tupel und λ ∈ R. Zeigen Sie per Induktion die folgenden Aussage:

Problem/Ansatz:

Text erkannt:

Aufgabe 3
Seien \( a, b \) Tupel und \( \lambda \in \mathbb{R} \). Zeigen Sie per Induktion die folgenden Aussagen:
(a) \( \lambda \cdot \sum \limits_{i=1}^{n} a_{i}=\sum \limits_{i=1}^{n}\left(\lambda \cdot a_{i}\right) \)

Answer 1

Das ist so leicht, dass ich kaum die Frage verstehe. 1. dass es für n=1 richtig ist ist nur hinzuschreiben, dann Induktionsvors. hinschreiben und daraus auf n+1 schließen, vielleicht glaubst du einfach nicht, wie einfach das ist?

lul

Answer 2

Hallo Maja,

die Aufgabe ist tatsächlich (gedanklich) leicht (vgl. lul), wenn man das Prinzip der vollständigen Induktion und den Umgang mit dem Summenzeichen ∑ verstanden hat:

zu zeigen A(n): Für alle n∈ℕ gilt  \(λ·\sum\limits_{i=1}^{n}{a_i} = \sum\limits_{i=1}^{n}{(λ·a_i})\)

1) Induktionsbasis (die Aussage A(n) ist richtig für n=1):

\(λ· \sum\limits_{i=1}^{1}{a_i} =λ·a_1= \sum\limits_{i=1}^{1}{(λ·a_i}) \)

2)  Induktionsschluss A(n) → A(n+1)

Induktionsvoraussetzung (IV): A(n)     Die Aussage sei richtig für irgendein n∈ℕ

Induktionsbehauptung: A(n+1)    Die Aussage ist richtig für n+1

Nachweis:

\( \textcolor{blue}{λ·\sum\limits_{i=1}^{n+1}{a_i} }= λ·(\sum\limits_{i=1}^{n}{a_i}+a_{n+1})= λ·\sum\limits_{i=1}^{n}{a_i}+λ·a_{n+1} \)

 \(=_{IV}  \sum\limits_{i=1}^{n}{(λ·a_i})+λ·a_{n+1}=\textcolor{blue}{\sum\limits_{i=1}^{n+1}{(λ·a_i})} \)

Gruß Wolfgang