Beweisen Sie per Induktion/ Beweisen Sie den folgenden Satz

Question

(1) Sei a₁ ≥ a₂ ≥ a₃ ≥ ... ≥ 0. Seien S_n=∑ⁿ _k=1 a_k und Ŝ_n=∑ⁿ _k=1 2^ka_2^k. Beweisen Sie per Induktion: 

(a) S_2ⁿ⁺¹-1 ≤ a₁ + Ŝ_n                                (b) Ŝ_n ≤ 2S_2ⁿ

(2) Beweisen Sie den folgenden Satz: Sei (a_k)_k≥1 eine monoton fallende Folge nichtnegativer reeller Zahlen. Die Reihe ∑∞_k=1 a_k konvergiert genau dann, wenn die Reihe ∑∞_k=1 2^ka_2^k konvergiert.

Hinweis zu (2): Eine Reihe mit negativen Glieder konvergiert genau dann, wenn die Folge ihrer Partialsummen nach oben beschränkt ist.

Ich würde mich sehr darüber freuen, wenn mir jemand diese Aufgaben einmal vorrechnen könnte! Vielen lieben Dank im Voraus!

Comments

Ich würde mich auch sehr über eine Antwort freuen

Answer 1

Der Satz heisst Verdichtungssatz. Der Beweis steht in jedem Analysis-I-Buch.

Answer 2

Ich mach mal die (1)

Ich denke bei der a meintest du
$$ S_{2^{n+1}-1}\leq a_1+\hat{S}_n $$

Also zur (a)

I.A.: n=1

$$ a_3+a_2+a_1 \leq a_1+2 a_2 $$

Dann der I.S.:

$$ S_{2^{n+1}-1}=\sum_{k=1}^{2^{n+2}-1} a_k =\sum_{k=1}^{2^{n+1}-1} a_k+ \sum_{k=2^{n+1}}^{2^{n+2}-1} a_k $$

$$ \leq  a_1+\hat{S}_n + a_{2^{n+1}}+ a_{2^{n+1}+1}+\ldots + a_{2\cdot2^{n+1}-1} \leq a_1+\hat{S}_n + 2^{n+1}a_{2^{n+1}}=  a_1+\hat{S}_{n+1} $$

Die (b) geht dann ähnlich