Die Gültigkeit per vollständiger Induktion zeigen (1+x)(1+x^2)....

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie per vollständiger Induktion die Gültigkeit der Identität

\( (1+x)\left(1+x^{2}\right) \cdots\left(1+x^{2^{n-1}}\right)\left(1+x^{2^{n}}\right)=\frac{1-x^{2^{n+1}}}{1-x} \)

für alle \( n \in \mathbb{N}_{0} \) und \( x \in \mathbb{R} \backslash\{1\} . \) Hierbei ist

\( x^{a^{b}}:=x^{\left(a^{b}\right)} \)

Answer 1

Nun, soo schwierig ist das gar nicht.

Oft braucht man einfach nur mal anzufangen ... dann lösen sich die scheinbaren Probleme wie "von selbst" :-)

Gezeigt werden soll:

$$\prod _{ k=0 }^{ n }{ 1+{ x }^{ 2^{ k } } } =\quad \frac { 1-{ x }^{ { 2 }^{ n+1 } } }{ 1-x }$$

Für n = 0 gilt:

$$\prod _{ k=0 }^{ 0 }{ 1+{ x }^{ 2^{ k } } } =\quad { 1+{ x }^{ 2^{ 0 } } }=\quad 1+x$$

$$=\quad \frac { (1+x)(1-x) }{ 1-x } =\quad \frac { 1-{ x }^{ 2 } }{ 1-x } =\frac { 1-{ x }^{ { 2 }^{ 0+1 } } }{ 1-x }$$

Induktionsvoraussetzung: Für ein festes m gelte:

$$\prod _{ k=0 }^{ m }{ 1+{ x }^{ 2^{ k } } } =\quad \frac { 1-{ x }^{ { 2 }^{ m+1 } } }{ 1-x }$$

Zu zeigen: Dann gilt für m+1:

$$\prod _{ k=0 }^{ m+1 }{ 1+{ x }^{ 2^{ k } } } =\quad \frac { 1-{ x }^{ { 2 }^{ m+2 } } }{ 1-x }$$

Beweis:

$$\prod _{ k=0 }^{ m+1 }{ 1+{ x }^{ 2^{ k } } }$$

Letztes Element aus dem Produkt herausziehen:

$$=\quad \left( \prod _{ k=0 }^{ m }{ 1+{ x }^{ 2^{ k } } }  \right) (1+{ x }^{ { 2 }^{ m+1 } })$$

Auf das Produkt die Induktionsvoraussetzung anwenden:

$$=\quad \left( \frac { 1-{ x }^{ { 2 }^{ m+1 } } }{ 1-x }  \right) (1+{ x }^{ { 2 }^{ m+1 } })$$

Hinteren Faktor in den Zähler hineinmultiplizieren:

$$=\quad \frac { (1+{ x }^{ { 2 }^{ m+1 } })-(1+{ x }^{ { 2 }^{ m+1 } }){ x }^{ { 2 }^{ m+1 } } }{ 1-x }$$

Weiter ausmultiplizieren und Klammern auflösen:

$$=\quad \frac { 1+{ x }^{ { 2 }^{ m+1 } }-{ x }^{ { 2 }^{ m+1 } }-{ x }^{ { 2 }^{ m+1 } }*{ x }^{ { 2 }^{ m+1 } } }{ 1-x }$$

Zusammenfassen:

$$=\frac { 1-{ x }^{ { 2 }^{ m+1 } }*{ x }^{ { 2 }^{ m+1 } } }{ 1-x }$$

und ausmultiplizieren:

$$=\quad \frac { 1-{ x }^{ { 2 }^{ m+2 } } }{ 1-x }$$

q.e.d

Damit gilt aufgrund des Axioms von der vollständigen Induktion für alle n ∈ N mit n ≥ 0 die Behauptung.

Answer 2

Es soll also

$$\prod \limits_{k=0}^{n} (1+x^{2^k}) = \frac{1-x^{2^{n+1}}}{1-x}$$

gezeigt werden.

Induktionsanfang (n = 0):

$$\prod \limits_{k=0}^{0} (1+x^{2^k}) = (1+x^{2^0}) = 1+x = \frac{1-x^{2^{0+1}}}{1-x} = \frac{1-x^2}{1-x} = \frac{1^2 - x^2}{1-x} = \frac{(1-x)(1+x)}{1-x} = 1+x \ .$$

Induktionsschritt (n -> n+1):

$$\prod \limits_{k=0}^{n+1} (1+x^{2^k}) = \left( \prod \limits_{k=0}^{n} (1+x^{2^k}) \right) \cdot (1+x^{2^{n+1}}) \overset{\text{I.A.}}{\underset{\text{}}{=}} \frac{1-x^{2^{n+1}}}{1-x} \cdot (1+x^{2^{n+1}}) = \frac{1 + x^{2^{n+1}} - x^{2^{n+1}} - x^{2^{n+1} + 2^{n+1}}}{1-x} = \frac{1 - x^{2 \cdot 2^{n+1}}}{1-x} = \frac{1 - x^{2^{n+2}}}{1-x} \ .$$