Aufgabe:
Zeigen Sie, dass aus dem Supremumsaxiom die Lückenfreiheit der reellen Zahlen folgt. Sei dazu L eine Menge links von einer Lücke, d.h. L ⊂ R, L ̸= ∅ und R := R \ L, R ̸= ∅ erfüllen ∀u ∈ L, v ∈ R : u < v sowie Max(L) ∪ Min(R) = ∅. Zeigen Sie, dass dann OS(L) = R ∪ Max(L) gilt und leiten Sie daraus einen Widerspruch zum Supremumsaxiom ab, also der Aussage
∀M ∈ oben Beschränkt \ {∅} : Sup(M ) ̸= ∅.
