Substitution bei Integralen

Question

Hey!

Ich tue mich sehr schwer mit der Substitution bei der Integralrechnung.

Die Aufgabe ist: \( \int\limits_{0}^{\infty} \) t exp(-αt²)dt für a > 0.

exp(x) = e^x

Meine Idee war jetzt:

g'(t) = t

f(g(t)) = exp(-αt²)

F(-αt²) = 2t

dt = dz/z'

\( \int\limits_{0}^{\infty} \) t · exp(-αt²) dt = \( \int\limits_{0}^{\infty} \) t · exp(-αt²) dz/2t

= 1/2 \( \int\limits_{0}^{\infty} \) exp(-αt²) dz

lim exp(-α · ∞²) = 0

lim exp(-α ·0) = 1

1/2 (1) = 0,5

Nach ein paar YouTube Videos bin ich mir leider immer noch sehr unsicher, würde mich freuen, wenn da jemand drüber gucken kann, danke!

Answer 1

Wir wollen
\( \int \limits_{0}^{n} t \exp \left(-a t^{2}\right) \mathrm{d} t \)
bestimmen. Dies ist ein recht einfacher Fall der Substitution, da das Integral fast die Form
\( \int \limits_{0}^{n} f(g(t)) \cdot g^{\prime}(t) \mathrm{d} t=\int \limits_{g(0)}^{g(n)} f(t) \mathrm{d} t, \quad f(g(t))=\exp \left(-a t^{2}\right), g(t)=-a t^{2} \)
hat. Es ergibt sich also
\( \begin{aligned} -\frac{1}{2 a} \int \limits_{g(0)}^{g(n)}-2 a t \exp \left(-a t^{2}\right) \mathrm{d} t &=-\frac{1}{2 a} \int \limits_{g(0)}^{g(n)} \exp (t) \\ &=-\frac{1}{2 a}(\exp (g(n))-\exp (g(0))) \\ &=-\frac{1}{2 a} \exp \left(-a n^{2}\right)+\frac{1}{2 a} \end{aligned} \)
Nun noch den Limes betrachten:
\( \lim \limits_{n \rightarrow \infty}-\frac{1}{2 a} \exp \left(-a n^{2}\right)+\frac{1}{2 a}=0+\frac{1}{2 a}=\frac{1}{2 a} \)

Comments

Danke!

Mir ist nur noch nicht ganz klar, wieso -exp(g(0)) 1/2a gibt?

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-exp(g(0)) = -1 und die -1/2a kommt von ausserhalb der Klammer, somit -1/2a * (-1) = 1/2a. Gerne akzeptieren wenn die Antwort hilfreich war :D

Answer 2

\( \int\limits_{0}^{\infty} t · exp(-αt^2) dt =  \int\limits_{0}^{\infty}  exp(-αt^2) t ·dt \)

mit z=-at^2 hast du \( \frac{dz}{dt}=-2at   \) also   \( t \cdot dt = \frac{dz}{-2a} \)

und für t gegen ∞ ergibt sich wegen a>0 also z gegen -∞ damit

= \(\lim\limits_{x\to-\infty}   \frac{1}{-2a} \int\limits_{0}^{x} exp(z) dz \)

= \(\lim\limits_{x\to-\infty}  \frac{1}{-2a}   (exp(x) - exp(0) )   \)

= \( \frac{1}{-2a} \cdot (-1)  = \frac{1}{2a}  \)

Comments

Ich finde das Argument mit dt/dz speziell am Anfang nicht wirklich gut, da viele Studenten den Eindruck vermittelt bekommen, sie könnten diesen Operator einfach als Bruch behandeln und diesen beliebig durch arithmetisch Operationen verändern. Dies ist im Bereich der "non-standard analysis" möglich, jedoch nicht in jener, die heute an den Universitäten gelehrt wird. Es funktioniert natürlich als Abkürkzung, und wenn man das Konzept gut verstanden hat, so kann man diese Abkürzung natürlich nehmen.