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Aufgabe:

Gesagt wird, dass ein Merkmal X die Normalverteilung Ν(μ,σ) hat. Dann ist die relative Häufigkeit Hrel (a<X<b) durch das bestimmte Integral ab ƒμ,σ (x) dx gegeben.

Nun soll mithilfe der Substitutionsregel für bestimmte Integrale mit der Substitution z = x-μ / σ gezeigt werden das,

ab ƒμ,σ (x) dx = a-μ/σb-μ/σ ƒ0,1 (z) dz

gilt.


Problem/Ansatz:

Leider habe ich nicht ganz verstanden wie ich die Substitutionsregel hier anwenden soll. Darum bitte ich um eine Beispiellösung damit ich die einzelnen Schritte nachvollziehen kann und die weiteren Aufgaben damit besser lösen kann.

Vielen dank schon einmal im Voraus!

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2 Antworten

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Hallo

du kennst die Dichtefunktion der Normalverteilung$${\displaystyle f(x\mid \mu ,\sigma ^{2})={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}\operatorname {exp} \left(-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}\quad -\infty <x<\infty }$$

Wenn du da z einsetzt  ergibt sich die Standardnormalverteilung mit $${\displaystyle \varphi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}\quad -\infty <x<\infty }.$$

dz=dx und die Grenze x=a wird zu z=a-μ/σ entsprechend x=b zu b-μ/σ

das ist alles, der Sinn ist, dass das Integral also die Erfahrung Funktion dann vertafelt ist bzw, in Programmen vorhanden.

Gruß lul

Avatar von 108 k 🚀
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Geht eigentlich ziemlich leicht. Mach einfach die Substitution aus der Angabe.

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