Substitutionsregel an Integralen anwenden.

Question

Aufgabe:

Gesagt wird, dass ein Merkmal X die Normalverteilung Ν(μ,σ) hat. Dann ist die relative Häufigkeit H_rel (a<X<b) durch das bestimmte Integral _a∫^b ƒ_μ,σ (x) dx gegeben.

Nun soll mithilfe der Substitutionsregel für bestimmte Integrale mit der Substitution z = x-μ / σ gezeigt werden das,

_a∫^b ƒ_μ,σ (x) dx = _a-μ/σ∫^b-μ/σ ƒ_0,1 (z) dz

gilt.

Problem/Ansatz:

Leider habe ich nicht ganz verstanden wie ich die Substitutionsregel hier anwenden soll. Darum bitte ich um eine Beispiellösung damit ich die einzelnen Schritte nachvollziehen kann und die weiteren Aufgaben damit besser lösen kann.

Vielen dank schon einmal im Voraus!

Answer 1

Hallo

du kennst die Dichtefunktion der Normalverteilung$${\displaystyle f(x\mid \mu ,\sigma ^{2})={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}\operatorname {exp} \left(-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}\quad -\infty <x<\infty }$$

Wenn du da z einsetzt  ergibt sich die Standardnormalverteilung mit $${\displaystyle \varphi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}\quad -\infty <x<\infty }.$$

dz=dx und die Grenze x=a wird zu z=a-μ/σ entsprechend x=b zu b-μ/σ

das ist alles, der Sinn ist, dass das Integral also die Erfahrung Funktion dann vertafelt ist bzw, in Programmen vorhanden.

Gruß lul

Answer 2

Geht eigentlich ziemlich leicht. Mach einfach die Substitution aus der Angabe.