Gemeinsamer Punkt der Tangenten einer Schar

Question

Aufgabe: Gemeinsamer Punkt der Tangenten einer Schar

Problem/Ansatz: Hallo, ich soll hier in der Aufgabe aus der bereits richtig erstellten Gleichung von Tangenten (in Abhängigkeit von einem Scharparameter k) den gemeinsamen Punkt aller Tangenten der Schar herausfinden. Dafür hab ich die Gleichung mit unterschiedlichen Parametern (k, a) gleichgesetzt aber weiß nicht mehr weiter. Die Lösung müsste der Punkt (-1/-1) sein. Wie komme ich darauf? Vielen Dank im Voraus

tk(x)=(2-k) x+1-k

gemeinsamer Punkt:

t_{k}(x)=t_{a}(t)
t_{k}(x)- t_{a}(x)=0

(2-k) x+1-k-[(2-a) x+1-a]=0
2 x-k x+1-k-[2 x-a x+1-a]=0
2 x-k x+1-k-2 x+a x-1+a=0
-k x-k+a x+a=0

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Wie lautet die Gleichung der Funktionsschar und an welchem Punkt liegt die Tangente?

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Die Funktionenschar lautet:

fk(x)=e^x(e^x-k)

Die Tangentengleichung beschreibt die Tangenten im Schnittpunkt mit der y-Achse. Der Schnittpunkt lautet SP(0/1-k).

Answer 1

Hallo nochmal,

zur Bestimmung der Schnittpunkte einer Funktionsschar setzt du für den Parameter beliebige Zahlen ein und löst nach x auf:

Ich habe 0 und 1 genommen.

\(t_0(x)=t_1(x)\\ (2-0)\cdot x+1-0=(2-1)\cdot x+1-1\\x=-1\)

Jetzt setzt du das Ergebnis in die Tangentengleichung ein

\(f_k(-1)=(2-k)\cdot (-1)+1-k=-1\)

Gruß, Silvia

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Vielen Dank das hat mir sehr weitergeholfen:)

Answer 2

\(t_k(x)=(2-k) x+1-k=2x-k x+1-k\)

Für \(k=0\) gilt  \(g(x)=2x+1\)

Diese Gerade schneidet die Schar im gemeinsamen Punkt:

\(t_k(x)=g(x)\)

\(2x-k x+1-k=2x+1\)

\(-k x-k=0\)

\(k x+k=0|:k\) mit \(k≠0\)

\(x=-1\)    →   \(g(-1)=-2+1=-1\)    oder

\(t(-1)=2\cdot (-1)-k (-1)+1-k=-1\)