Gemeinsamer Punkt von verschiedenen Funktionsscharen finden: fa(x)=(-7-23a)+(7+30a)x; fb(x)=-30x^2+(60+30b)x-(30+23b)

Question

Gegeben habe ich die Y Werte 312, 313, 1044 und soll prüfen, ob es Pkt mit diesen y gibt die alle drei Funktionsscharen gemeinsam haben. mit x,a,b,c Element R x >0 und Parameter a,b,c>=0.
 fa(x)=(-7-23a)+(7+30a)x
 fb(x)=-30x^2+(60+30b)x-(30+23b)
 fc(x)=30x^2+(-46+30c)x+(16-23c)
 Ich soll herausfinden ob es x Werte gibt die diese Bedingung erfüllen. Mit einer Wertetabelle und Trial and Error bin ich zwar zu einer Lsg gekommen aber wie berechne ich es?

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Answer 1

fa(x) = (7 + 30·a)·x + (-7 - 23·a)

fb(x) = - 30·x^2 + (60 + 30·b)·x - (30 + 23·b)

fc(x) = 30·x^2 + (-46 + 30·c)·x + (16 - 23·c)

Schnittpunkt fa(x) = fb(x)

(7 + 30·a)·x + (-7 - 23·a) = - 30·x^2 + (60 + 30·b)·x - (30 + 23·b)

--> x = -a + b + 1 ∨ x = 23/30

Schnittpunkt fa(x) = fc(x)

(7 + 30·a)·x + (-7 - 23·a) = 30·x^2 + (-46 + 30·c)·x + (16 - 23·c)

--> x = a - c + 1 ∨ x = 23/30

Y-Koordinate des gemeinsamen Schnittpunktes

fa(23/30) = -49/30

Der gemeinsame Schnittpunkt liegt bei S(23/30 | -49/30).

Comments

Vielen Dank für die Lösung. Ich hab allerdings einen Fehler gemacht.

X,a,b,c sind natürliche Zahlen! Durch Probieren kann ich mit Wertetabelle bestätigen, dass für

x=4 der Punkt (4;312) ein gemeinsamer Punkt ist für die unterschiedlichen Scharen mit

a=3; b=6 und c=0.

Wie zeigt man das rechnerisch bzw. prüft die anderen y Werte und ob es gemeinsame Punkte gibt

mit gleichen x?