Zeigen Sie: Eine Rechtsinverse von A existiert genau dann, wenn Rang(A) = n gilt.

Question

Aufgabe:

Sei A ∈ Kn×m. Eine Matrix Aˆ ∈ K^m×n heißt Rechtsinverse von A, falls gilt AAˆ = I_n.

a) Zeigen Sie: Eine Rechtsinverse von A existiert genau dann, wenn Rang(A) = n gilt.

1. Ist irgendeine Wahl von k Zeilen von A linear unabhangig, so ist Rang A ≥ k.
2. Ist jede Wahl von k Zeilen von A linear abhangig, so ist Rang A < k.

Answer 1

Man nehme an \( \mathbf{A} \in \mathbb{R}^{n, m} \). Sei \( L \) die lineare Abbildung, welche durch die Matix \( \mathbf{A} \) dargestellt wird. Dann gilt \( L_{1}: \mathbb{R}^{m} \rightarrow \mathbb{R}^{n} \) und somit \( \operatorname{Im}(\mathbf{A})=\mathbb{R}^{n} \). Sei des weitern \( L_{2}: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{m} \) die zu \(\overline{\mathbf{A} } \) gehörende lineare Abbildung (sie muss injektiv sein). Wenn \( \operatorname{rank}(\mathbf{A})=n \), so ist \( L_{1} \) surjektive, da \( \operatorname{Im}\left(\mathbb{R}^{n}\right) . \) Damit ist dann
\( L_{1} \circ L_{2}: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{n} \)
bijektiv (wenn \(L_2\) entsprechend ist, es muss nämlich ich eine Teilmenge \(W \subseteq\mathbb{R}^m\) abbilden mit \(L_1(W)=\mathbb{R}^n\)). Wenn nun \( \operatorname{rank}(\mathbf{A})<n \) so ist \( L_{1} \) nicht surjektiv und somit kann
\( L_{1} \circ L_{2} \)
nicht bijektiv sein.

Comments

Was ist L1 genau, und woher kommt das A^T?

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Die Matrix A stellt ja eine (lineare) Abbildung dar und diese Abbildung habe ich mit L1 bezeichnet (wenn du irgendeinen Vektor an die Matrix ranmultiplizierst kriegst du ja einen neuen Vektor raus). Das A strich ist das Aˆ in deiner Frage