Beweis: Zeigen Sie, dass Wx genau dann ein Unterraum von Körper K² ist, wenn x=0

Question

Aufgabe:

Sei \( K \) ein Körper, sei \( x \in K \) und sei

$$ W_{x}=\left\{\left(\begin{array}{l} x \\ y \end{array}\right) \in K^{2} | y \in K\right\} $$

Zeigen Sie, dass \( W_{x} \) genau dann ein Unterraum von \( K^{2} \) ist, wenn \( x=0 \)

Ansatz:

Wenn K ein Körper ist, wie komme ich dann darauf, dass wx ein unterraum von K² ist?

Comments

Da musst du ziemlich viel zeigen. Ist mir im Moment zu lang.

Schau bei den Unterräumen Q(Wurzel a) , die hier z.B. mit Wurzel 2 schon durchgerechnet wurden.

Q steht für rationale Zahlen.

Wurzel a fügt dort sozusagen eine zweite Dimension ein ohne dass man das sieht.

Hier gilt nun: Wenn x nicht Null ist, hat man keine 0 bei der Addition.

Wenn x Null ist, ist der Vektor (0,0) [vertikal schreiben] das neutrale Element bei der Addition.

Für die Definition der Multiplikation würde ich auf die Multiplikation der komplexen Zahlen zurückgreifen. In komplexer  Darstellung entspräche x dem Imaginärteil und y dem Realteil der Zahl. (0,1) wäre das neutrale Element der Mult.

Ich hoffe dieser Ansatz hilft dir mal ein Stück weiter.

Answer 1

Nach definition muss man zeigen dass (W_x,+) und (W_x,*) eine Untergruppe von (K,+) und (K,*) ist und dass die Abgeschlossenheit von W_x gilt. Meine Frage: kann aus der Aufgabe direkt  folgern dass x,y ebenfalls Elemente aus W_x sind und dass dann alle Elemente von K ebenfalls Elemente von W sind?

Comments

Ist x über y ein Binomialkoeffizient? Oder sind das die Elemente des K^2?

 

Sollte letzteres stimmen: Setze ich dann einfach x = 0 und addiere beide Vektoren? Und das Ergebnis ist dann wieder in K^2? Gleiches gilt für die Multiplikation?

Und wie zeige ich in diesem Fall das Inverse 1 + (-1) = 0 ? Ist das einfach ein Nullvektor?

Und wie zeige ich in diesem Fall das neutrale Element? Ist das einfach ein Nullvektor im Fall der Addition und ein 1 Vektor im Fall der Multiplikation?