Beweis: Zeigen Sie, dass f^{-1} (w) genau dann ein Unterraum ist, wenn w=0

Question

Mit folgender Aufgabe komme ich nicht zurecht:

Sei f : V → W eine lineare Abbildung und sei w ∈ W. Zeigen Sie, dass f^-1(w) genau dann ein Unterraum ist, wenn w=0.

Comments

Hi bin auch an der Aufgabe dran:

Ich habe folgende überlegung:

Wir haben die Abbildung f : V → W und f^-1(w) soll für w=0 ein unterraum sein. Daraus ergibt sich doch die Abbildung

g o f : V→V₀ daraus hab ich dann g(f(v)) oder halt wenn man für w = 0 einsetzt hat man doch g(0). Die Eigenschaften der linearen Abbildung setzt man dann Voraus und nimmt dann an das (v₀ +) eine Untergruppe von (V,+) ist und
g(x · f(v) = x · g(f(v) oder halt    g(x·0) = x ·g(0)

Ich bin mir nicht sicher ob das ein richtiger Ansatz ist :/ :D

Answer 1

Die Rückrichtung ist leicht.

 

Wenn w = 0, dann ist f^-1(w) = kern(f)
kern(f) erfüllt die Eigenschaften eines Unterraums, denn:

 

1) Seien u, v ∈ kern(f):
⇒ f(u+v) = f(u)+f(v) = 0+0 = 0
⇒ u+v ∈ f^-1(w)

2) Sei u ∈ kern(f), α aus dem Grundkörper.

Dann gilt:
f(αu) = αf(u) = 0

⇒ αu ∈ f^-1(w)

3) Außerdem ist die 0 stets Element von kern(f). Das ist für jede lineare Abbildung so. Beweis erfolgt durch Annahme des Gegenteils:
Sei f(0) = c ≠ 0

Dann gilt wegen der Linearität von f: f(a+0) = f(a)+f(0) = f(a)+c

Gleichzeitig gilt aber f(a+0) = f(a). Das ist ein Widerspruch.

 

Für die Hinrichtung:

Sei f^-1(w) ein Unterraum von V.

Da f^-1(w) ein Unterraum ist, muss für u, v aus f^-1(w) gelten:

f(u+v) = w

f(u+v) = f(u)+f(v)

wegen der Linearität von f. Außerdem sind u, v ∈ f^-1(w) also gilt: f(u)=f(v) = w.

Also:
f(u+v) = f(u)+f(v) = w+w = 2w

Es gilt also:
w = 2w

Subtrahiert man auf beiden Seiten w:

w = 0.