Question

Sei \( U \) ein \( k \) -dimensionaler Unterraum eines \( n \) -dimensionalen Vektorraumes \( V \) über dem Körper \( K \). Sei \( U^{\prime}:=\left\{\phi \in \operatorname{Hom}_{K}(V, K) \mid \phi_{\mid U} \equiv 0\right\} \) die Menge aller \( K \) -linearen Abbildungen \( V \longrightarrow K \), deren Einschränkung auf \( U \) konstant Null ist.

Man zeige, dass \( U^{\prime} \) ein Unterraum von \( \operatorname{Hom}_{K}(V, K) \) ist und bestimme seine Dimension.

Answer 1

Die Abbildung \(F:Hom(V,K)\rightarrow Hom(U,K),\; \phi\mapsto \phi|_U\) ist offenbar linear.

Zu \(U\) gibt es einen komplementären Unterraum \(W\) von \(V\), so dass \(V=U \oplus W \) ist.

Ist nun \(\psi \in Hom(U,K)\), so definiere man \(\phi\in Hom(V,K)\) durch

\(\phi|_U=\psi\) und \(\phi|_W=0\). Also ist \(F\) ein Epimorphismus mit

\(Kern(F)=U'\).

Der Dimensionssatz für \(F\) besagt, dass

\(\dim (U')=\dim(Hom(V,K))-\dim(Hom(U,K))=\dim(V)-\dim(U)=n-k\)