Zeigen Sie, dass W_{x} genau dann ein Unterraum von K^2 ist, wenn x = 0

Question

Aufgabe:

Sei K ein Körper, sei x ∈ K und sei

$$ W _ { x } = \left\{ \left( \begin{array} { c } { x } \\ { y } \end{array} \right) \in K ^ { 2 } | y \in K \right\} $$

Zeigen Sie, dass W_x genau dann ein Unterraum von K² ist, wenn x = 0.

Ich bin die Kriterien durchgegangen und das passt alles soweit, also W_x ist ein Unterraum, wenn x=0. Mich stört jetzt noch die Formulierung "genau dann ... wenn x =0" und es damit keine andere Möglichkeit gibt.

Mir ist soweit klar, dass x = 0 beim neutralen Element der Addition gelten muss und x != 0 somit wegfällt, aber warum darf es sonst nicht beliebig sein?

Ist es einfach nur Teil dieser Aufgabe oder habe ich irgendwo einen Denkfehler?

Würde mich über eine kurze Antwort sehr freuen.

Answer 1

"Genau dann, wenn" heißt äquivalent, du musst hier also zwei Richtungen zeigen (einmal nimmst du (x, y) ∈ W_x an und zeigst, dass x=0 ist, einmal nimmst du x=0 an und zeigst, dass W₀ ein Unterraum von K^2 ist).

"=>" Sei (x, y) ∈ W_x. Dann ist (x, y) + (x, y) ∈ W_x = (x+x, y+y) = (2x, 2y)

D.h. es gibt (x, y') ∈ W_x mit (2x, 2y) = (x, y')

=> 2x=x => x=0

"<=" Hier rechne ich einfach nach, dass W₀ ein Unterraum ist:

1) (0, 0) ∈ W₀

2) Seien (0, y1), (0, y2) ∈ W₀ => (0, y1) + (0, y2) = (0, y1+y2) ∈ W₀

3) Sei (0, y) ∈ W₀. Dann ist -(0, y) = (0, -y) ∈ W₀

4) Sei (0, y) ∈ W₀, λ ∈ K. Dann ist λ * (0, y) = (0, λy) ∈ W₀

=> W₀ ist ein Unterraum von K^2.

Comments

Ah danke für die Antwort :)

Ich hatte bisher nur "<=" als Lösung, aber habe mir schon gedacht, dass da was fehlt...

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Merk dir einfach: Sobald "genau dann, wenn" in der Aufgabenstellung steht, musst du immer zwei Richtungen zeigen.

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Alles klar.  

Also "genau dann wenn" wäre dann doch als Zeichen ⇔ und "=>" sowie "<=" dann jeweils sowas wie "daraus folgt" oder?

 

Sag mal hast du sonst irgendwelche Tipps oder Sachen, die man sich zu solchen Aufgaben merken sollte oder zu Matrizen? Oder Allgemein zu Matheklausuren an der Uni?

 

Ich schreibe nämlich in zwei Wochen die Klausur und es dauert manchmal einfach zu lange, bis ich weiß was gemeint ist. Das Rechnen bzw. Formulieren ist da nicht so das Problem. Ansonsten halte ich mich an die Definitionen im Skript und versuche mich da "langzuhangeln".

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Im allgemeinen wird die Klausur einfacher als die Übungsaufgaben (du hast für die Übungsaufgaben ja auch wesentlich mehr Zeit, in der Klausur wird sicher nicht eine Aufgabe kommen, wofür man eine halbe Stunde für den Ansatz braucht :)). Schau dir am besten Klausuren von den Jahren zuvor an (wenn du die Möglichkeit haben solltest), da siehst du schonmal was dich erwartet und kannst daran schonmal üben.