Taylor Entwicklung f(x)=e^{-x}*(1+sinx)

Question

ich muss als Aufgabe die oben genannte Funktion Taylor Entwickeln. (an der Stelle 0)

Hab da aber so meine schwierigkeiten mit, da ich für die Ableitungen immer andere Werte raus bekomme und dann nicht weiß wie ich das machen soll.

Mfg

Answer 1

Ich nehme an, du meinst die folgende Funktion:
f(x) = e^-x * (1+sin(x)) = e^-x + sin(x) e^-x  ⇒ f(0) = 1

Bis zu welcher Ordnung sollst du sie den entwickeln? Ich fange einfach mal mit den ersten vier Ordnungen an.

f'(x) = -e^-x - sin(x) e^-x + cos(x) e^-x = e^-x*(cos(x)-sin(x)-1) ⇒ f'(0) = 0

f''(x) = e^-x + sin(x)e^-x - cos(x) e^-x - cos(x)e^-x - sin(x)e^-x = e^-x - 2cos(x) e^-x = e^-x (1 - 2cos(x)) ⇒ f''(0) = -1

f'''(x) = -e^-x + 2cos(x)e^-x + 2sin(x)e^-x = e^-x (2cos(x)+2sin(y) -1) ⇒ f'''(0) = 1

f''''(x) = e^-x - 2cos(x)e^-x - 2sin(x)e^-x - 2sin(x)e^-x + 2cos(x)e^-x = e^-x(1-4sin(x)) ⇒ f''''(0) = 1

 

f(x) ≈ 1 - x²/2 + x³/6 + x⁴/24 + O(x⁵)

 

Wenn du es noch genauer brauchst, dann sag Bescheid.