Taylor Entwicklung f(x)= sin(2x)sinh(x)

Question

Hallo Mathematiker,

Ich sitze hier vor einer Aufgabe und muss die Funktion  f(x)= sin(2x)sinh(x)

Taylor Entwickeln. Wie geh ich da vor? Könnte ich zum Beispiel die Funktion in zwei einzelne Funktionen aufspalten und diese für sich Entwickeln? (später dann multiplizieren). Ein HInweis zu der Aufgabe war nämlich, dass man diese lösen könne ohne eine Ableitung zu berechnen.

MfG

Answer 1

Eigentlich ist das viel einfacher, wenn man es nicht in die Exponentialfunktion umwandelt.

Denn die Ableitung vom sinh(x) ist der cosh(x) und umgekehrt, Ableitungen vom Sinus sind ja bekannt:

f'(x) = 2cos(2x)sinh(x) + sin(2x)cosh(x)

f''(x) = -4sin(2x)sinh(x) + 2cos(2x)cosh(x) + sin(2x)sinh(x) + 2cos(2x)cosh(x) = 4cos(2x)cosh(x) - 3sin(2x)sinh(x)

f'''(x) = -8sin(2x)cosh(x) + 4cos(2x)sinh(x) - 6cos(2x)sinh(x) - 3sin(2x)cosh(x) = -11sin(2x)cosh(x) -2cos(2x)sinh(x)

f''''(x) = -22cos(2x)cosh(x) - 11sin(2x)sinh(x) + 4sin(2x)sinh(x) - 2cos(2x)cosh(x) = -24cos(2x)cosh(x) - 7sin(2x)sinh(x)

Setzt man die Zahlen ein und beachtet zusätzlich sinh(0)=sin(0)=0, cosh(0)=cos(0)=1:

f(0) = 0

f'(0) = 0

f''(0) = 4

f'''(0) = 0

f''''(x) = -24

 

f(x) ≈ 2x² - x⁴ + O(x⁵)

 

Comments

Sehr gut erkannt und umgesetzt. Der Hyperbolicus ist mir halt etwas zu exotisch .-)

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Oki vielen dank erstmal. Aber was mich dann daran stört ist der Hinweis zu der Aufgabe, dass man diese lösen kann ohne eine ableitung berechnen zu müssen. Wie soll das denn bitte gehen

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Also, wenn man weiß wie die Taylorreihen von sin und sinh aussehen, geht vielleicht folgendes:

sinh(x) = x + x³/3! + x⁵/5! + ...

sin(x) =  x - x³/3! + x⁵/5! + ...

sin(2x) = 2x - (2*x)³/6 + (2x)⁵/5! + .. = 2x - 4x³/3 + 4*x⁵/15 +  ... (hier kann man einfach für das x den Ausdruck 2x einsetzen)

 

So nun einfach mal die beiden Taylorreihen von sinh(x) und sin(2x) multiplizieren (ich breche mal beim 2. Glied ab):

(x + x³/6)*(2x - 4x³/3) = 2*x² - 4x⁴/3 + 2x⁴/6 - 4x⁶/18 = 2x2 - x⁴ + unbedeutender Rest ≈ 2x² - x⁴

Somit komme ich aauf das Ergebnis von Julian Mi.

Answer 2

Ich würde hier so vorgehen:

1. Den sinh(x) kann man auch so schreiben: sinh(x) = (e^x - e^-x)/2

2. Dann sieht die Funktion schon angenehmer aus: f(x) = sin(2x)*(e^x - e^-x)/2 = 0,5*sin(2x)*e^x - 0,5*sin(2x)*e^-x

3. Taylorreihe entwickeln um die Stelle a = 0

f(0) = sind (2*0)*(e⁰ - e⁰)/2 = 0

1. Ableitung bilden (Produktregel, Kettenregel)

f'(x) = 0,5*(2*cos(2x)*e^x + sin(2x)*e^x) - 0,5*(2*cos(2x)*e^-x + sin(2x)*e^-x*(-1)) = cos(2x)*e^x + 0,5*sin(2x)*e^x - cos(2x)*e^-x - 0,5*sin(2x)*e^-x

f'(0) = 1 + 0  - 1 - 0 = 0

Dann kann man nach dem selbem Muster die 2., 3., 4. etc Ableitungen bilden und jeweils für x 0 einsetzen und die Taylorreihe weiterentwickeln. Erspare ich mir hier .-)

Taylorreihe = f(0) + f'(0)*x/1 + f''(0)*x²/2 + f'''(0)*x³/6 + ....

In unserem Fall: TR = 0 + 0*x/1 + ...

Keine Sorge, bei höheren Ableitungen dürfte vor dem x keine Null mehr erscheinen, falls mich nicht alles täuscht.