Ist der Term punktsymmetrisch zum Punkt P(1/1)?

Question

 

die Aufgabe lautet ob y= 0,5 (x-2)² (x+1) punktsymmetrisch zu P ( 1 / 1 ) .

Mein Problem ist der Ansatz mit (x-2)² (x+1).

Wer kann mir da weiterhelfen? :)

 

Daniel

Answer 1

Eine Funktion  f  ist punktsymmetrisch zum Punkt P(a|b), wenn für alle x gilt

f(x) = 2b - f(2a- x).

Hier ist  f(x) = 0,5(x-2)²(x+1), a =1 und b = 1. Also ist

2b - f(2a-x) = 2 - f(2-x) = 2 - 0,5(2-x-2)²(2-x+1) = 2 - 0,5x²(3-x)

= 0,5(4 - x²(3-x)) = 0,5(4 - 3x² +x³) = 0,5(x-2)²(x+1) = f(x).

Also ist  f  punktsymmetrisch zum Punkt P(1|1).

Answer 2

 

 y= 0,5 (x-2)² (x+1) punktsymmetrisch zu P ( 1 / 1 ) ?

Die Funktion geht durch P(1/1). 

Polynome 3. Grades sind punktsymmetrisch bezüglich Wendepunkt. Diese Tatsache benutze ich im Folgenden, um den Wendepunkt zu erkennen. (Ich hoffe mal das ist bekannt). 

Der Ansatz mit (x-2)² (x+1) zeigt, dass die Funktion in x=2 eine doppelte und in x= -1  eine einfache Nullstelle hat.

Bei x=2 befindet sich der Tiefpunkt der Kurve. Der Hochpunkt müsste symmetrisch links vom Wendepunkt liegen. Also bei Q(0/2). Einsetzen zeigt, dass die Kurve durch diesen Punkt geht.

Wenn man nun x=3 einsetzt, muss auch 2 rauskommen. Das stimmt auch. 

Somit ist P(1/1) das Symmetriezentrum.