Rekonstruktion. Polynom ist punktsymmetrisch (0/0) und schneidet den Graphen von g(x)=1/2(4x^3 + x) in (0/0) senkrecht.

Question

Zuerst mal danke an den Mathecoach für die schnelle Antwort.

Jetzt sitze ich an der nächsten Aufgabe, die noch etwas schwerer ist und auch hier komme ich nicht weiter. Die Aufgabe lautet: Der Graph  einer ganzrationalen Funktion dritten Grades ist punktsymmetrisch zum Ursprung und schneidet den Graphen von g(x)=1/2(4x^3 + x) im Ursprung senkrecht. Ein zweiter Schnittpunkt mit g liegt bei x = 1 vor. Wie lautet die Funktionsgleichung?

Ich habe die Bedingungen f(0)=0  f(1) = 2.5 (weil g beim Punkt x=1 g=2.5 ist) und f(-1) = -2.5 (weil es Punktsymmetrisch ist und es auf der andern Seite deswegen doch gleich sein sollte). Ich komme damit aber nicht weiter.

Kanns Du (oder sonst jemand) hier auch noch einen Input geben?

Answer 1

Der Graph  einer ganzrationalen Funktion dritten Grades ist punktsymmetrisch zum Ursprung

f(x) = ax^3 + bx
f'(x) = 3ax^2 + b

und schneidet den Graphen von g(x) = 1/2(4x³ + x) = 2x^3 + 0.5x im Ursprung senkrecht. 

f'(0) * g'(0) = -1
(3a*0^2 + b) * (6*0^2 + 0.5) = -1
b = -2

Ein zweiter Schnittpunkt mit g liegt bei x = 1 vor. Wie lautet die Funktionsgleichung?

f(1) = g(1)
a + b = 2.5
a = 2.5 - b = 2.5 - (-2) = 4.5

f(x) = 4.5x^3 - 2x

Skizze:

Comments

Sehr gut erklärt :)

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warum rechnet man f'(x)*g'(x)

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Zwei Steigungen sind zueinander senkrecht, wenn ihr Produkt -1 ergibt.

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Ist das immer so? also eine Formel?

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Warum nimmt man dann die Ableitung der Funktionen f und g? und nicht die "normalen" Funktionen?

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Weil die Ableitung ein Maß für die Steigung ist und nicht der Funktionswert.

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Ja. Das ist immer so. Also quasi eine Formel.

m₁ * m₂ = -1 ---> senkrechte Steigungen

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hallo :) ich verstehe den schritt nicht wie man denn  auf das b kommt`? ( man hat doch die variable a noch da stehen ...  ich brauche dringnd die zwischenrechnung weil den rest habe ich alles selber schon machen können bin aber leider nicht weiter gekommen. ich habe diese aufgabe nämlich auch als hausaufgabe auf und muss sie auch präsentieren . wäre echt super wenn mir jemand eine schnelle antwort geben könnte :)

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Du weist also nicht wie man 

(3a*0² + b) * (6*0² + 0.5) = -1 

nach b auflöst ?

Kleiner Tipp. Der Term ist radikal zu vereinfachen. Probier es mal aus. Du wirst sehen das es wirklich nicht schwer ist. Wenn du dabei Schwierigkeiten hast melde dich noch mal.

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und wie würde man das machen, wenn man das mit dem GTR rekonstruieren will, also die Bedingungen alle aufstellt, ich weiß dort nämlich nur f(0)=0, f(1)=2.5 und f(-1)=-2.5

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und wie würde man das machen, wenn man das mit dem GTR rekonstruieren will,

Ich weiß nicht ob das ein GTR überhaupt kann. Ein CAS-Rechner kann das auf alle fälle. Da muss ich z.B. auf dem Casio zunächst die Funktion und nötige Ableitungen definieren und mit den Bedingungen dann kann das CAS die Lösung bestimmen.

Im Internet empfehle ich zur Hilfe und Selbstkontrolle die Seite http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/steckbrief.htm