Rekonstruktion von Funktion 4. Grades

Question

1. 8a + 4b + 2c + d = 4

2. 12a + 4b + c = 1

3. a + b + c + d = 1

4. 6a + 2b = 0

2. + 4. * (-2)

2. 12a + 4b + c = 1

4.+ (-12a - 2b)  = 0

a und b heben sich auf somit ist c = 1

nur weiss ich nicht wie ich weiter machen soll habe schon c oft versucht in die anderen Gleichungen einzusetzen nur will das nicht klappen

könnte ihr mir bitte weiterhelfen.

Answer 1

Vorbemerkung:

Eine Funkton vierten Grades hat die allgemeine Funktionsgleichung:

f ( x ) = a x ⁴ + b x ³ + c x ² + d x + e

Für die eindeutige Bestimmung einer Funktion 4. Grades benötigt man also 5 Gleichungen. 

 

Ich löse dennoch das von dir angegebene Gleichungssystem.

 

Zunächst: c = 1  ist richtig.

Ich setze nun c = 1   in die ersten drei Gleichungen ein:

1. 8a + 4b + 2 + d = 4

2. 12a + 4b + 1 = 1

3. a + b + 1 + d = 1

<=>

1. 8a + 4b + d = 2

2. 12a + 4b = 0

3. a + b + d = 0

 

Aus der zweiten Gleichung folgt: <=> 3a + b = 0 <=> b = - 3a

 

Einsetzen von b = - 3a in die erste und dritte Gleichung:

1. 8 a - 12 a + d = 2

3. a - 3 a + d = 0

<=>

1. - 4a + d = 2

3. - 2 a + d = 0

 

1. Gleichung - 3. Gleichung ergibt:

- 2 a = 2 <=> a = - 1

 

Einsetzen von a = - 1 in die dritte Gleichung:

2 + d = 0 <=> d = - 2

und in die oben blau gesetzte Gleichung:

b = 3

Damit hat man alle Koeffizienten berechnet. Allerdings genügen 4 Koeffizienten nicht für eine Funktion 4. Grades sondern nur für eine Funktion 3. Grades. Diese würde lauten: 

f ( x ) = -  x ³ + 3 x ² + x - 2 

Comments

wie meinst du diesen satz hier?

 

"Aus der zweiten Gleichung folgt: <=> 3a + b = 0 <=> b = - 3a"

 

ich versuche es nachzuvollziehen aber schaff es echt nicht mehr um diese uhrzeit.

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Nun, die zweite Gleichung lautet:

12a + 4b = 0

Beide Seiten durch 4 dividieren:

<=> 3a + b = 0

Auf beiden Seiten 3a subtrahieren:

<=> b = - 3a