Rekonstruktion Fkt. 3. Grades

Question

Eine ganzrationale Funktion 3. Grades ist symmetrisch zum Ursprung des Koordinatensystems und hat den Tiefpunkt P (1/-2). Wie lautet die Funktionsgleichung?

Also meine Bedingungen wären:

1. f(1)=-2
2. f ' (1) = 0
3. f (-1) = 2 (wegen der Symmetrie? bin mir aber unsicher)
4. f(0) = 0 (ebenfalls unsícher)

zumindest wenn ich alles ausrechne komm ich imemr wieder aus 0=0 oder a=c .... kann mir jemand weiterhelfen? :( 

Comments

Würdest Du bitte zunächst einen Ansatz aufstellen?

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also 

f(x) = ax³+bx²+cx+d
f ' (x)= 3ax² + 2bx + c

1. -2= a+b+c+d
2. 0 = 3a + 2b +c
3. 2= -a + b -c
4. d=0

Additionsverfahren (2. und 3.) :
2 = 2a + 3b
a= 1 - 1,5b  

Subtraktionssverfahren 1. und 2.
-2 = -2a - b 
b= 2 - 2a 

a eingesetzt

b = 2 - 1 - 1,5b
2,5b = 1
b= 2/5 

in die a-gleichung eingesetzt:

a=1-1,5(2/5)
a= 2/5 

in 1. :

-2 = 2/5 + 2/5 +c
c= -14/5

oh , ok. ich bin jetzt auf eine lsg gekommen :
f(x)= 2/5x³ + 2/5x² - 14/5x 

Aber wue gesagt bin ich mir bei den bedingungen unsicher, weshalb die lsg wahrscheinlich falshc ist ..

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Hi, den Fehler sehe ich auf die Schnelle nicht. Auf jeden Fall ist Dein Ansatz unnötig kompliziert. Wegen der Symmetrie muss \(b=d=0\) gelten und der Ansatz \(f(x)=ax^3+cx\) würde genügen.

Answer 1

Deinen Ansatz habe ich jetzt nicht sauber durchgeschaut, da er unnötig kompliziert ist.

Es reicht der Ansatz f(x) = ax^3 + cx

Die Bedingungen einsetzen:

f(1) = -2

f'(1) = 0

Ich komme damit auf a = 1 und c = -3

--> f(x) = x^3-3x

;)

Grüße

Comments

wieso reicht der ansatz f(x) = ax³ + cx ? 

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ach, wegen der symmetrie.. okay, dankeschön :)

Answer 2

Eine ganzrationale Funktion 3. Grades ist symmetrisch zum Ursprung
des Koordinatensystems und hat den Tiefpunkt P (1/-2).
Wie lautet die Funktionsgleichung?

Also meine Bedingungen wären:

1. f(1)=-2
2. f ' (1) = 0

f ( x ) = a*x^3 + b*x^2 + c*x + d

So far so good. Dann

f ( 0 ) = 0. Das d entfällt
f ( x ) = a*x^3 + b*x^2 + c*x
Durch die Information Punktsyymetrisch zum Ursprung entfällt x^2
f ( x ) = a*x^3  + c*x

Es bleiben 2 Aussagen ( 1 und 2 ) mit 2 Unbekannten.