Aloha :)
Du erinnerst dich bestimmt an die Potenzreihe der Exponentialfunktion:$$e^x=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}\quad;\quad e^{-x}=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{(-x)^n}{n!}$$
Da beide Summen für alle \(x\in\mathbb R\) konvergieren können wir sie in gerade \(n\) und ungerade \(n\) aufteilen:$$e^x=\underbrace{\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{x^{2k}}{(2k)!}}_{n=2k\text{ gerade}}+\underbrace{\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}}_{n=2k+1\text{ ungerade}}$$$$e^{-x}=\underbrace{\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{(-x)^{2k}}{(2k)!}}_{n=2k\text{ gerade}}+\underbrace{\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{(-x)^{2k+1}}{(2k+1)!}}_{n=2k+1\text{ ungerade}}=\underbrace{\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{x^{2k}}{(2k)!}}_{n=2k\text{ gerade}}-\underbrace{\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}}_{n=2k+1\text{ ungerade}}$$
Wenn du nun die zweite Potenzreihe von der ersten subtrahierst, fallen die beiden "geraden" Summen weg und die "ungeraden" Summen addieren sich:$$e^x-e^{-x}=2\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}\quad\implies$$$$\sinh(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2}=\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}$$
Der Konvergenzradius ist wie bei der \(e^x\)-Funktion unendlich, weil die \(e^x\)-Funktion absolut konvergent ist und die \(\sinh(x)\)-Funktion deren Teilsumme mit ungeraden \(n\) ist.
Für die letzte Teilaufabe würde ich von \(\left(\sin(x)=\sum\limits_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}\right)\) ausgehen:$$-i\,\sin(ix)=-i\sum\limits_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{(ix)^{2n+1}}{(2n+1)!}=-i\sum\limits_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{i^{2n+1}\,x^{2n+1}}{(2n+1)!}$$$$\phantom{-i\,\sin(ix)}=-i\sum\limits_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{(i^2)^n\,i\,x^{2n+1}}{(2n+1)!}=-i\sum\limits_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{(-1)^n\,i\,x^{2n+1}}{(2n+1)!}$$$$\phantom{-i\,\sin(ix)}=-i\sum\limits_{n=0}^\infty\left[(-1)^n\right]^2\frac{i\,x^{2n+1}}{(2n+1)!}=-i^2\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$$$$\phantom{-i\,\sin(ix)}=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}=\sinh(x)$$
