Vektorraum, Unterraum, Körper

Question

Sei X eine nicht leere Menge, (K, +, *) ein Körper und K^x die Menge aller Abbildungen von X nach K versehen mit der Addition und Skalarmultiplikation definiert durch 

(f ⊕ g)(x) = f(x) + g(x) und (k  ⊗ f)(x) = k * f(x)

für alle f ∈ K^x, g ∈ K^x, x ∈ X und k ∈ K.

(a) Zeigen Sie, dass (K^x, ⊕, ⊗) ein Vektorraum über K ist.

(b) Sei a ∈ X fixiert. Zeigen Sie, dass K^x ∩ {f : f(a) = 0} ein Unterraum von (K^x, ⊕, ⊗) ist.

Komme bei dieser Aufgabe nicht wirklich weiter :( 

Vielleicht kann mir ja jemand helfen.

Comments

Sei X eine nicht-leere Menge, (K,+,*) ein Körper und K^x  die Menge aller Abbildungen von X nach K versehen mit der Addition und Skalarmultiplikation definiert durch

(f (+) g) (x) = f(x) + g(x) und    (k (*) f) (x) = k * f (x)

für alle f ∈ K^x  , g ∈ K^x, x ∈ K und k ∈ K.

a) Zeigen Sie, dass ( K ^x, (+), (*) ) ein Vektorraum über K ist.

b) Sei a ∈ K fixiert. Zeigen Sie, dass K^x ∩ {f: f(a) = 0} ein Unterraum von ( K ^x, (+), (*) ) ist.

Ich bitte um Hilfe der beiden Aufgaben.

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Sei X eine nicht-leere Menge, (K,+,*) ein Körper und K^x  die Menge aller Abbildungen von X nach K versehen mit der Addition und Skalarmultiplikation definiert durch

(f (+) g) (x) = f(x) + g(x) und    (k (*) f) (x) = k * f (x)

für alle f ∈ K^x  , g ∈ K^x, x ∈ K und k ∈ K.

Zeigen Sie, dass ( K ^x, (+), (*) ) ein Vektorraum über K ist.

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Schau mal dort:

https://www.mathelounge.de/415408/vektorraum-unterraum-korper

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Schau mal dort:

https://www.mathelounge.de/415408/vektorraum-unterraum-korper

Answer 1

a) Du musst die Vektorraumaxiome durchgehen, also etwa

⊕ ist assoziativ.

Dazu musst du schauen, ob für alle solche

Abbildungen f,g,h  gilt

(f ⊕ g)⊕ h  =  f ⊕ ( g ⊕ h )   

Um zu zeigen, dass diese beiden Abbildungen gleich sind,

musst du zeigen, dass für alle x aus X gilt

( (f ⊕ g)⊕ h ) (x)    =  ( f ⊕ ( g ⊕ h ) ) (x)

Dazu benutzt du die getroffene Definition:

  ( (f ⊕ g)⊕ h ) (x) =  (f ⊕ g) (x)  +   h(x)  #


=   (   f(x) + g(x) )  +  h(x)  und wegen Assoziativ. von +

=       f(x) +    ( g(x) )  +  h(x) )   Dann die Def. rückwärts anwenden

=    f(x)  +    ( g ⊕ h ) (x)    

=     ( f ⊕ ( g ⊕ h ) ) (x)     also # bewiesen.


In der Art für alle Axiome .