wie groß ist der Durchmesser jeder Kugel, wenn das Wasser um 2,5 cm steigt?

Question

Aufgabe:

sechs gleich große Kugeln werden in einen Zylinderförmigen Wasserbehälter (innendurchmesser 21cm) gelegt und tauchen im Wasser vollständig unter.

Problem/Ansatz:

wie groß ist der Durchmesser jeder Kugel, wenn das Wasser um 2,5 cm steigt?

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Da man Wasser nicht zusammendrücken kann, verdrängen die Kugeln genau so viel Wasser, wie ihr gesamtes Volumen beträgt. Das Volumen des verdrängten Wassers erhalten wir aus dem Volumen \(V=\pi\,r^2\,h\) eines Zylinders mit dem Radius \(r\) und der Höhe \(h\):

$$V=\pi\,r^2\cdot h=\pi\cdot\left(\frac{21}{2}\,\mathrm{cm}\right)^2\cdot2,5\,\mathrm{cm}\approx865,9\,\mathrm{cm}^3$$Dieses Volumen wird durch alle \(6\) Kugeln zusammen verdrängt, also verdrängt eine Kugel das Volumen:$$v=\frac{V}{6}\approx144,3\,\mathrm{cm}^3$$

Das Volumen einer Kugel mit dem Durchmesser \(d\) ist \(v=\frac16\pi d^3\). Damit können wir den Durchmesser \(d\) einer jeden Kugel bestimmen:$$\frac16\pi\,d^3=144,3\,\mathrm{cm}^3\quad\implies\quad d=\sqrt[3]{\frac1\pi\cdot6\cdot144,3\,\mathrm{cm}^3}\approx6,5\,\mathrm{cm}$$

Comments

Die \(21\ \mathrm{cm}\) sind der Durchmesser des Zylinders, nicht der Radius.

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Die Aufgabe ist ein schönes Beispiel dafür, dass es sich lohnt, zunächst ohne Zahlenwerte zu arbeiten, die vorhandenen Terme soweit wie möglich zu vereinfachen und erst am Schluss die gegebenen Daten einzusetzen. Leider hast du dem Fragesteller diese Erkenntnis vorenthalten.

Deshalb hier der Zusatz :   \(d= \sqrt[3]{\frac{D^2}{4}*h}  =  \sqrt[3]{\frac{441}{4}*2,5}    =  6,51 [cm] \)

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Ja, ich habe mich verlesen. Oben heißt es Innendurchmesser und nicht Innenradius. Habe den Bug korrigiert.

Zum Jahreswechsel gibt es bei meinem Optiker immer 50% Rabatt auf Brillen, da ist wohl eine neue fällig ;)

@hj2166:

Zum Verständnis ist es oft besser, in Einzelschritten vorzugehen, anstatt soweit wie möglich mit Termen zu rechnen. Zum Rechnen selbst gebe ich dir recht.

Answer 2

sechs gleich große Kugeln

Volumen der sechs Kugeln mit Radius \(r\) ist

        \(V_{6K} = 6\cdot \frac{4}{3}\pi r^3\).

einen Zylinderförmigen Wasserbehälter (innendurchmesser 21cm)

Volumen der Wassersäule der Höhe \(h\) im Zylinder ist

        \(V_{Z_{\text{vorher}}} = \pi\cdot \left(\frac{21}{2}\right)^2\cdot h\).

wenn das Wasser um 2,5 cm steigt?

Volumen der Wassersäule danach ist

      \(V_{Z_{\text{nachher}}} = \pi\cdot \left(\frac{21}{2}\right)^2\cdot(h+2,5)\).

wie groß ist der Durchmesser jeder Kugel

Es ist

        \(V_{6K} = V_{Z_{\text{nachher}}} - V_{Z_{\text{vorher}}}\),

also

        \(6\cdot \frac{4}{3}\pi r^3 = \pi\cdot \left(\frac{21}{2}\right)^2\cdot(h+2,5) - \pi\cdot \left(\frac{21}{2}\right)^2\cdot h\).

Löse diese Gleichung nach \(r\) auf. Für den Durchmesser \(d\) der Kugeln gilt

        \(d = 2r\).