Binomische Formel mit Exponent n in der Klammer. Grenzwert von: (√3*10n - 1)2 / 102n

Question

Ich soll den Grenzwert dieser Zahlenfolge bestimmen:

$\frac{\left(\sqrt{3} * 10^{n}-1\right)^{2}}{10^{2 n}}$

Nun stellt sich mir die Frage, ob im Zähler eine binomische Formel steckt.

Als Ergebnis soll 3 rauskommen. Was passiert, wenn ich z.B. 10²ⁿ ausklammere, mit dem Nenner?

Steht dann da eine 1 oder 0?

Answer 1

Vereinfache den Term z.B. folgendermassen (Potenzgesetze)

 (√3*10ⁿ - 1)² / 10²ⁿ

=  (√3*10ⁿ - 1)² / (10ⁿ )²

=  ( (√3*10ⁿ - 1) / (10ⁿ )²          |Bruch in der Wurzel oben und unten durch 10ⁿ

=  ( (√3 - 1/10ⁿ) /  1 )² 

 

=  ( √3 - 1/10ⁿ )² 

Jetzt n-----> unendlich

Limes  ( √3 - 1/10ⁿ )²  = (√3)² = 3