Der einfachste Ring ist ℤ
Das ist ja mal Unfug... Der einfachste Ring ist definitiv der Nullring. Aber ok
---
Es ist
\( \text{span}_\mathbb Z(2,3) = \{ 2a+3b ~|~ a,b \in \mathbb Z \} \)
\( \text{span}_\mathbb Z(1) = \{ 1c ~|~ c \in \mathbb Z \} = \mathbb Z \)
Dass der Span von 1 den ganzen Ring bildet ist denke ich klar ... Wir wollen eine Gleichheit von zwei Mengen zeigen. Dazu zeigen wir die beiden Inklusionen:
\( \text{span}_\mathbb Z(2,3) \subseteq \text{span}_\mathbb Z(1)\):
Z.Z. ist also 2a+3b = 1c für ein \( c \in \mathbb Z \) aber da bereits \( 2a+3b \in \mathbb Z \), wähle \( c = 2a+3b \).
\( \text{span}_\mathbb Z(2,3) \supseteq \text{span}_\mathbb Z(1)\):
Haben wir hingegen ein Element von der Form 1c müssen wir nun a,b finden mit 1c = 2a + 3b
Wir halten fest, dass ggT(a,b) = 1 = 2 * (-1) + 3 * 1 ist (Raten oder erweitertet euklidischer Algorithmus)
Also erhalten wir \( 1c = 2 \cdot (-1 \cdot c) + 3 \cdot (1 \cdot c) \). Wir wählen deshalb \( a := -c \in \mathbb Z \) und \( b := 1c \in \mathbb Z \)
Das ist ein ziemlich elementarer Weg.
Du könnest auch z.B. begründen, warum
\( \text{span}_\mathbb Z (a_1,...,a_n) \subseteq \text{span}_\mathbb Z(b_1,...,b_m) \iff a_1,...,a_n \in \text{span}_\mathbb Z (b_1,...,b_m) \)
Dann kann man sich auch etwas Schreibarbeit sparen.
