Bestimme die nachstehenden Grenzwerte

Question

Aufgabe:

\( \lim\limits_{n\to\infty} \)  (1+\( \frac{1}{3n-2} \) )ⁿ

Problem/Ansatz:

Grenzwert bestimmen

Answer 1

Aloha :)

$$\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{3n-2}\right)^n=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{\frac13}{n-\frac23}\right)^n=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\left(1+\frac{\frac13}{n-\frac23}\right)^{n-\frac23}\left(1+\frac{\frac13}{n-\frac23}\right)^{\frac23}\right)$$$$=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{\frac13}{n-\frac23}\right)^{n-\frac23}\cdot\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{\frac13}{n-\frac23}\right)^{\frac23}=e^{\frac13}\cdot(1+0)^{\frac23}=\sqrt[3]{e}$$

Answer 2

Mache eine Limessubstitution und nutze

\(\lim_{n\to \infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n = e\)

Answer 3

Hallo,

allgemein gilt:

\( \lim\limits_{n\to\infty} \) ( \( 1 +\frac{k}{n})^{n} \) =\( e^{k} \)

\( \lim\limits_{n\to\infty} \)  (1+\( \frac{1}{3n-2} \) )^n

--------->

\( \frac{1}{3n-2} \) =\( \frac{k}{n} \)

n=k(3n-2)

k=\( \frac{n}{3n-2} \)

k= \( \frac{1}{3-\frac{2}{n}} \)

für n---->∞ : k =\( \frac{1}{3} \)

->

\( \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{3 n-2}\right)^{n}=\sqrt[3]{e} \)