Beweisen Sie die nachstehenden Teilbarkeitsaussagen:

Question

(a) 2³ⁿ - 1 ist teilbar durch 7 für alle n ∈ ℕ.

(b) 3²ⁿ⁺¹ + 1 ist teilbar durch 4 für alle n ∈ ℕ.

 

Geht bei (a) folgendes:

2^3n-1 = (2³)ⁿ - 1 = 8ⁿ- 1 = 8ⁿ - 1ⁿ= (8 - 1) * (8^n-1 + 8^n-2 * 1 + ... + 8 * 1^n-2 + 1^n-1)
=> 2³ⁿ - 1 = 7 * x

Ich glaube nämlich, dass es falsch ist 8ⁿ - 1 = 8ⁿ - 1ⁿ zu schreiben. Hätte vielleicht jemand einen anderen Lösungsvorschlag wenn dieser Beweis falsch ist?

 

Und ist bei b folgendes richtig:

 

A(n) sei die Aussage: 3²ⁿ⁺¹ + 1 = 4*x
I.A.:
Für n = 1:  3³ + 1 = 28 = 4*7 Also ist A(1) wahr.
I.S.:

3⁽²ⁿ⁺¹⁾ = 4x - 1 aus I.A. wird benutzt
3^2(n+1)+1 + 1 = (3² * 3²ⁿ⁺¹)+ 1 = 9(4x - 1) + 1 = 36x - 8 = 4(9x - 2)
Somit ist nach vollständiger Induktion A(n) wahr für alle n aus ℕ.

Answer 1

2^{3·n} - 1 ist durch 7 teilbar für alle n ∈ N

2^{3·n} - 1 = 7·k

2^{3·n} = 7·k + 1

Induktionsanfang n = 1

2^{3·1} - 1 = 7 --> stimmt.

Induktionsschritt n --> n + 1

2^{3·(n + 1)} - 1
8·2^{3·n} - 1
8·(7·k + 1) - 1
56·k + 7
7·(8·k + 1)
Dieser Ausdruck ist auch durch 7 teilbar.

 

Für Aufgabe b kannst du das Ähnlich zeigen.

Comments

Eigentlich sollte es aber auch gehen wie du es gezeigt hast. Ist sogar geschickter denke ich.

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b) ist auch richtig

3^{2·n + 1} + 1 ist durch 4 teilbar für alle n ∈ N

3^{2·n + 1} + 1 = 4·k

3^{2·n + 1} = 4·k - 1

Induktionsanfang n = 1

3^{2·1 + 1} + 1 = 28 --> stimmt.

Induktionsschritt n --> n + 1

3^{2·(n + 1) + 1} + 1
3^{2·n + 2 + 1} + 1
9·3^{2·n + 1} + 1
9·(4·k - 1) + 1
36·k - 8
4·(9·k - 2)

Das ist auch durch 4 teilbar.

Answer 2

a)

Das hier: 8ⁿ - 1 = 8ⁿ - 1ⁿ ist völlig in Ordnung, aber unnötig.

Auch der gesamte Beweis ist fast richtig.

So ist es ganz richtig:

2³ⁿ-1 = (2³)ⁿ - 1 = 8ⁿ-1= (8 - 1) * (8^n-1 + 8^n-2 + ... + 8 ^n-(n-1) + 8⁰)
=> 2³ⁿ - 1 = 7 * x

 

b)

Dem stimme ich voll und ganz zu.