Für n=1 hast du \( 3^6 - 1 = (3^3-1)(3^3+1) = 26*28 \) also
durch 7 teilbar, weil 7| 28.
Dann weiter mit vollst. Induktion.
Also weiß man n≥1 und \(7 | {3^{2n+4} - 2^{n-1}}\).
==> \({3^{2(n+1)+4} - 2^{n}} = {3^{2n+4+2} - 2^{n}} = {9 \cdot 3^{2n+4} - 2 \cdot 2^{n-1}} \)
\( = {7 \cdot 3^{2n+4} + 2 \cdot 3^{2n+4} - 2 \cdot 2^{n-1}} \)
\( = {7 \cdot 3^{2n+4} + 2 \cdot (3^{2n+4} - \cdot 2^{n-1})} \)
Der erste Summand ist durch 7 teilbar, weil er den Faktor 7 enthält
und der zweite nach Induktionsvoraussetzung. Also ist
auch \({3^{2(n+1)+4} - 2^{n}} \) durch 7 teilbar. q.e.d.
