Beweisen Sie: Falls n2 - n +1 für ein n aus N durch 5 teilbar ist, so ist n nicht teilbar durch 5.

Question

Aufgabe:

Beweisen Sie: Falls n^2 - n +1 für ein n aus N durch 5 teilbar ist, so ist n nicht teilbar durch 5.

Problem/Ansatz:

Wie gehe ich hier vor?

Zuerst muss ich doch annehmen, dass: 5 | n^2 - n +1. Dann muss ich ja irgendwie zeigen, dass n^2 - n +1 durch 5 teilbar ist, indem ich ein n wähle, sodass ich auf 5 komme und die dann ausklammern kann und dann gilt ja: 5 | 5(...). Und dann müsste ich schauen, ob auch 5 | n gilt, oder?

Liebe Grüße

Answer 1

Überlege, ob es nicht eventuell günstiger ist zu zeigen, dass wenn n durch 5 teilbar ist, n^2 - n + 1 nicht durch 5 teilbar ist

Wenn n durch 5 teilbar ist, dann gilt n = 5z

(5z)^2 - (5z) + 1 = 25z^2 - 5z + 1 = 5(5z^2 - z) + 1

Und damit wäre n^2 - n + 1 nicht durch 5 teilbar.

Answer 2

a_n=n²-n+1 wäre durch 5 teilbar, wenn die Einerziffer des Ergebnisses 0 oder 5 wäre.

Allerdings enden sämtliche Zahlen der Folge mit 1; 3 oder 7.

Einerziffer von

n	an
0;1;5;6	1
2;4;7;9	3
3;8	7

:-)

Answer 3

n^{2} - n + 1 = 0 (mod 5)

⇔

n^{2} - n + 6 = 0 (mod 5)

⇔

(n + 2) * (n - 3) = 0 (mod 5)

⇔

n = 3 (mod 5)

q.e.d.