Zeigen, dass Folge (an) gegen max konvergiert

Question

Aufgabe: Es seien k ∈N und x₁, x₂, . . . , x_k ∈R. Die Folge (a_n) Ist definiert durch

        a_n := (\sum_{j=1} ^{k}{|x_{j}|^{n}})^\frac{1}{n}= \sqrt[n]{|x_{1}|^n + |x_{2}|^n + ···+ |x_k|^n }  (n ∈N)

Zu zeigen, dass (a_n) gegen a := max {|x_j|: 1 ≤j ≤k} konvergiert.

…

Problem: Ich finde keine zwei Folgen b_n und c_n um a_n einzugrenzen (b_n<= a_n <= c_n) (Sandwichkriterium) und benötige einen Ansatz, wie ich an diese Aufgabe herangehen kann.

Answer 1

Verwende folgende zwei Abschätzungen:$$\quad{\large❶}\quad a_n=\sqrt[n]{\sum_{j=1}^k\lvert x_j\rvert^n}\le\sqrt[n]{\sum_{j=1}^ka^n}=\sqrt[n]{k\cdot a^n}=a\cdot\sqrt[n]k$$$$\quad{\large❷}\quad a_n=\sqrt[n]{\sum_{j=1}^k\lvert x_j\rvert^n}\ge\sqrt[n]{a^n}=a,$$sowie \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]k=1.\)