Zeigen Sie: g ist surjektiv.

Question

Aufgabe:

Sei g : ℝ⁴ → ℝ² eine R-lineare Abbildung, so dass
ker g = {(x1, x2, x3, x4) ∈ ℝ | x1 = 5x2 und x3 = 7x4}.
Zeigen Sie: g ist surjektiv.

Comments

Bestimme die Dimension des Kerns und verwende einen Satz aus Eurer Vorlesung über Kern und Rang.

Answer 1

Aloha :)

Schreiben wir uns mal die Vektoren des Kerns auf:$$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5x_2\\x_2\\7x_4\\x_4\end{pmatrix}=x_2\begin{pmatrix}5\\1\\0\\0\end{pmatrix}+x_4\begin{pmatrix}0\\0\\7\\1\end{pmatrix}$$Wir erkennen zwei Basisvektoren, aus denen wir alle Vektoren des Kerns bilden können. Daher hat der Kern die Dimension \(2\).

Gemäß des Dimensionssatzes muss gelten:$$\operatorname{dim}(\mathbb R^4)=\operatorname{dim}\left(\operatorname{Bild}(f)\right)+\operatorname{dim}\left(\operatorname{Kern}(f)\right)$$Das heißt für die Dimension des Bildes:$$\operatorname{dim}\left(\operatorname{Bild}(f)\right)=\operatorname{dim}(\mathbb R^4)-\operatorname{dim}\left(\operatorname{Kern}(f)\right)=4-2=2$$Daher decken die Bilder von \(f\) den gesamten 2-dimensionalen Raum \(\mathbb R^2\) ab, sodass die Abbildung surjektiv ist.