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Finde ein Gegenbeispiel zu den vier Aussagen von lemma 1.7

d.h. finde X, Y, Z und Abbildungen f:X →Y, g:Y→Z so dass gilt:

1. f ist injektiv, aber g○ f ist nicht injektiv.

2 g ist surjektiv aber g○f ist nicht surjektiv.

Könnt ihr mir helfen bin am verzweifeln :-(
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Das Lemma 1.7 ist, das, waas du hier geschrieben hast? Oder sind dort irgendwelche Eigenschaften deiner Abbildungen vorgegeben?
Nein nur was ich geschrieben hab
Also da steht noch 1.7 lemma 1. Wenn die Verknüpfung g ○f injektiv ist dann auch f 2. Wenn g○ f subjektiv ist dann auch g 3. Wenn f, g injektiv sind dann auch g○f 4 wenn f, g subjektiv sind dann auch g○f
Dann bist du also in der Wahl deiner Beispiele frei.
Joa.. Jedoch hab ich eine Blockade oder keine ahnung. .

2 Antworten

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Beste Antwort
X: = {a,b}

Y: = {1,2,3,4}

Z := {u,v,w}

f: a---> 1, b----> 2         injektiv

g: 1---> u, 2-----> u, 3-----v, 4→w surjektiv

g(f(a)) = g(1) = u

g(f(b)) = g(2) = u. also g o f nicht injektiv.

und g o f nicht surjektiv, das v und w nicht als Bilder von a oder b auftauchen.
Avatar von 162 k 🚀
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sei X = Y = Z = {0, 1}.

\( f : X \rightarrow Y \) sei durch f(0) = 0 und f(1) = 1 erklärt. \( g: Y \rightarrow Z \) sei durch g(0) = g(1) = 1 erklärt. Dann ist f injektiiv, g nicht injektiv und g * f wegen g(f(0)) = g(f(1)) = 1 nicht injektiv.

f ist übrigens surjektiv, aber g ist nicht surjektiv. Wir sehen, dass f * g wegen f(g(0)) = f(g(1)) = 1 nicht surjektiv ist, da kein Element auf die 0 abgebildet wird.

MfG

Mister

PS: Dieses Gegenbeispiel kann man besonders gut als Skizze mit Pfeilen und Mengen veranschaulichen, da X, Y und Z so wenig (nämlich 2) Elemente haben.
Avatar von 8,9 k
& wie sieht es aus wenn g ○ f injektiv ist aber g ist nicht injektiv Oder G○ f ist subjektiv aber f ist nicht surjektiv
Dann sieht es anders aus.
Ja aber wie? Ich verstehe es nicht
Ich verstehe deine Frage nicht.

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