C-lineare Abbildung bestimmen

Question

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Aufgabe 3
(5 Punkte)
Betrachten Sie die \( \mathbb{C} \)-Vektorräume
\( V:=\{f \in \mathbb{C}[X] ; \operatorname{deg}(f) \leq 3\} \quad \text { und } \quad W:=\left\{A \in \mathbb{C}^{2 \times 2} ; \operatorname{Spur}(A)=0\right\}, \)
sowie die \( \mathbb{C} \)-lineare Abbildung
\( \varphi: V \rightarrow W, a+b X+c X^{2}+d X^{3} \mapsto\left(\begin{array}{cc} -a+b & c-d \\ -a+b+c-d & a-b \end{array}\right) . \)
Bestimmen Sie ein \( n \in \mathbb{N} \) und dazu eine surjektive \( \mathbb{C} \)-lineare Abbildung \( \alpha: V \rightarrow \mathbb{C}^{n \times 1} \), sowie eine injektive \( \mathbb{C} \)-lineare Abbildung \( \beta: \mathbb{C}^{n \times 1} \rightarrow W \) mit \( \varphi=\beta \circ \alpha \).

Aufgabe:

Betrachten Sie die C-Vektorräume V := {f ∈ C[X] ; deg(f) ≤ 3} und W := {A ∈ C^2×2; Spur(A) = 0},
sowie die C-lineare Abbildung ϕ: V → W, a + bX + cX² + dX³ →

-a+b	c-d
-a+b+c-d	a-b

(Matrix)
Bestimmen Sie ein n ∈ N und dazu eine surjektive C-lineare Abbildung α: V → C^n×1, sowie eine injektive C-lineare Abbildung β : C^n×1 → W mit ϕ = β ◦ α.

Problem/Ansatz:

Ich weiß, dass das innerhalb des Themas Homomorphiesatz (für Vektorräume) verortet ist, man also irgendwie auf solche Abbildungen kommen soll. Ich weiß aber wirklich nicht, wie ich diese Aufgabe lösen soll und würde mich über eure Hilfe freuen!

Answer 1

Eine Idee wäre, da dim(Bild(φ)) = 2 würde ich n=2 versuchen

und könnte mir vorstellen, dass es klappt mit

α: V → ℂ^2x1 , a + bX + cX2 + dX3 → (-a+b ; c-d)      und

ß: ℂ^2x1  → W , (x ; y)  →\( \left(\begin{array}{cc} x & y \\ x+y & -x \end{array}\right) \)

Comments

Alles klar, ich werde es mal ausprobieren und prüfen. Vielen Dank!!