Lineare Abbildung mit Ableiten der Polynome

Question

Sei D: Q[X] → Q[X] die (formale) Ableitung für Polynome, also die eindeutig bestimmte lineare Abbildung D: Q[X] → Q[X] mit D(Xn) = nXⁿ⁻¹ für alle n ∈ N.
a) Zeigen Sie, dass D surjektiv ist.
b) Bestimmen Sie den Kern von D.
c) Zeigen Sie, dass die Abbildung D' : Q[X]/ kerD → Q[X], D'([p]_∼) = D(p) wohldefiniert ist.
d) Laut Homomorphiesatz ist die Abbildung D' bijektiv. Was ist ihre Umkehrfunktion?

Problem/Ansatz:

Bei a) verstehe ich nicht einmal, warum die Funktion surjektiv ist, und bei Surjektivität tu ich mir sowieso immer beim Beweisen schwer.

Bei b) habe ich nur kerD={0} gefunden, gibt es noch andere?

Muss man bei d) nicht einfach die Funktion umdrehen, also Q[X] → Q[X]/ kerD, oder ist das komplizierter?

Answer 1

Zeigen Sie, dass D surjektiv ist. Das bedeutet doch :

Für jedes p∈Q[X] gibt es ein  q∈Q[X] mit D(q) = p.

Sei etwa \(  p(x) = \sum \limits_{i=0}^n a_ix^{i}\) dann nimm doch \(  q(x) = \sum \limits_{i=1}^n \frac{a_{i-1}}{i}x^{i}\)

b)   Ker(D) enthält alle Polynome mit D(p)=0,

also alle, deren Ableitung 0 ist, das sind alle konstanten Polynome,

nicht nur das 0-Polynom.

c)  Ein Element von   Q[X]/ kerD ist eine Klasse von Polynomen,

die sich alle nur um das konstante Glied unterscheide. Also die

Koeffizienten bei den Potenzen von X mit Exponent größer 0

stimmen überein. Dann ist die Abbildung wohldefiniert, denn alle

Elemente einer Klasse haben die gleiche Ableitung, den die konstanten

Glieder fallen ja beim Ableiten weg.

d) Die Umkehrung ist die Abbildung, die einem Polynom die Menge

seiner Stammfunktionen zuweist. Und das ist dann eben so eine Klasse

aus Q[X]/ kerD.