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Aufgabe:

Sei f: G→H ein Epimorphismus endlicher Gruppen.

Wie kann ich die Aussage:

|f-1 (h)| = |ker(f)| für jedes h∈H

beweisen?

Es soll auch geschlussfolgert werden, dass gilt |G| = |H|*|ker(f)|.


Ich habe leider keine Ahnung, wie ich das beweisen soll und bin über jede Hilfe dankbar.

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Dir ist hoffentlich klar, dass

$$\ker f = f^{-1}(0)$$

Für beliebiges h in H reicht es also eine Bijektion

$$ f^{-1}(h)\to f^{-1}(0), ~g\mapsto~ ?? $$

anzugeben.

Aber damit ist ja kein Beweis erbracht

Doch? Zwei Mengen sind gleichmächtig, wenn eine Bijektion zwischen ihnen existiert.

Aber ich verstehe nicht, wie ich dann auf den Beweis komme

Nimm dir einfach mal ein beliebiges Element \( x \in f^{-1}(h) \) betrachte dann die Abbildung

$$ g \mapsto g \cdot x^{-1} $$

Warum liegen die Bilder im Kern bzw. im Urbild des neutrales Elements (oben mit 0 bezeichnet)?

Warum ist die Abbildung bijektiv?

Ich habe keine Ahnung. Ich stehe auf dem Schlauch

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