Epimorphismus und der Zusammenhang zwischen Kern und Umkehrfunktion

Question

Aufgabe:

Sei f: G→H ein Epimorphismus endlicher Gruppen.

Wie kann ich die Aussage:

|f^-1 (h)| = |ker(f)| für jedes h∈H

beweisen?

Es soll auch geschlussfolgert werden, dass gilt |G| = |H|*|ker(f)|.

Ich habe leider keine Ahnung, wie ich das beweisen soll und bin über jede Hilfe dankbar.

Comments

Dir ist hoffentlich klar, dass

$$\ker f = f^{-1}(0)$$

Für beliebiges h in H reicht es also eine Bijektion

$$ f^{-1}(h)\to f^{-1}(0), ~g\mapsto~ ?? $$

anzugeben.

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Aber damit ist ja kein Beweis erbracht

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Doch? Zwei Mengen sind gleichmächtig, wenn eine Bijektion zwischen ihnen existiert.

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Aber ich verstehe nicht, wie ich dann auf den Beweis komme

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Nimm dir einfach mal ein beliebiges Element \( x \in f^{-1}(h) \) betrachte dann die Abbildung

$$ g \mapsto g \cdot x^{-1} $$

Warum liegen die Bilder im Kern bzw. im Urbild des neutrales Elements (oben mit 0 bezeichnet)?

Warum ist die Abbildung bijektiv?

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Ich habe keine Ahnung. Ich stehe auf dem Schlauch