Vektoren. Pyramide A(1|2|0), B (1|4|0), C (5|2|2) und S (1|2|4). Winkel, Seitenkanten usw.

Question

Aufgabe:

Gegeben sind die Punkte A(1|2|0), B(1|4|0), C(5|2|2) und S(1|2|4) einer dreiseitigen Pyramide mit dem Dreieck ABC als Grundfläche und dem Punkt S als Spitze.

Zeigen Sie, dass das Dreieck ABC rechtwinkelig ist.

Berechnen sie das Volumen der Pyramide.

Bestimmen Sie den winkel zwischen der Seitenkante BS und der Grundfläche ABC.

Answer 1

Bilde mal die Richtungsvektoren

AB = B - A
AC = C - A
BC = C - B
AS = S - A

Nun bildest du die Skalarprodukte
AB * AC
AB * BC
AC * BC

und hoffst das eines davon Null wird, denn wenn das Skalarprodukt null ist, sind die Vektoren senkrecht zueinander.

Für das Volumen der Pyramide nimmst du das Spatprodukt

V = 1/6 * (AB x AC) * AS

Für den Winkel der Seitenkante BS zur Grundfläche ABC nimmst du
N = AB x AC
BS = S - B

α = arcsin((N * BS)/(|N| * |BS|))

Das sind die Ansätze. Probier das mal danach auszurechnen. Wenn du magst stell die Lösungen hier rein, dann können wir das auf Richtigkeit überprüfen.

Comments

"Bilde mal die Richtungsvektoren

AB = B - A
AC = C - A
BC = C - B
AS = S - A"
 

A (1|2|0), B (1|4|0), C (5|2|2) und S (1|2|4).

AB = B - A =  (0|2|0)
AC = C - A = (4|0|2)
BC = C - B = (4|-2|2)
AS = S - A = (0|0|4)

"Nun bildest du die Skalarprodukte
AB * AC
AB * BC
AC * BC

und hoffst das eines davon Null wird, denn wenn das Skalarprodukt null ist, sind die Vektoren senkrecht zueinander."

AB = B - A =  (0|2|0)
AC = C - A = (4|0|2)
BC = C - B = (4|-2|2)
AS = S - A = (0|0|4)

AB * AC= 0+0+0= 0
AB * BC= 0-4+0= -4
AC * BC= 16+0+4= 20
___

kannst du mir diesen schritt genau erklären ? wozu mach ich das ? was nützt mir das ? kann ich mir das irgendwie grafisch vorstellen ?

"Für das Volumen der Pyramide nimmst du das Spatprodukt

V = 1/6 * (AB x AC) * AS"

wie genau kommst du hier zu dieser formel für das volumen? 
wie rechne ich das spartprodukt aus wenn ich nur 2 vektoren habe ??

"Für den Winkel der Seitenkante BS zur Grundfläche ABC nimmst du
N = AB x AC
BS = S - B

α = arcsin((N * BS)/(|N| * |BS|))

Das sind die Ansätze. Probier das mal danach auszurechnen. Wenn du magst stell die Lösungen hier rein, dann können wir das auf Richtigkeit überprüfen."

könntest du hier auch noch erklären wie genau du zu der formel kommst ? N = AB x AC ist die grundfläche ??
N = AB x AC= (4|0|-8)

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kannst du mir diesen schritt genau erklären ? wozu mach ich das ? was nützt mir das ? kann ich mir das irgendwie grafisch vorstellen ?

Schau mal unter https://de.wikipedia.org/wiki/Skalarprodukt

Dort findest du auch Veranschaulichungen.

wie genau kommst du hier zu dieser formel für das volumen?

Das Kreuzprodukt zweier Vektoren ist ein Vektor der senkrecht zur Fläche ist und deren Betrag den Flächeninhalt des aufgespannten Parallelogramms ergibt.

Das Skalarprodukt ist das Produkt aus dem ersten Vektor und der senkrechten Projektion des 2. Vektors auf den 1. Vektor. Damit wird hier also das Produkt aus Grundfläche mal Höhe gebildet und man erhält das Volumen eines Spats.

Siehe dazu auch https://de.wikipedia.org/wiki/Spatprodukt

wie rechne ich das spartprodukt aus wenn ich nur 2 vektoren habe ??

Für das Spatprodukt braucht man 3 Vektoren. 2 Vektoren können nur eine Fläche aufspannen und kein Volumen.

könntest du hier auch noch erklären wie genau du zu der formel kommst ? N = AB x AC ist die grundfläche ?? N = AB x AC= (4|0|-8)

AB x AC ist ein Vektor der Senkrecht zur Grundfläche ist. Ich benutze diesen Vektor nur um den Winkel zu berechnen. 

Das Skalarprodukt ist der Betrag zweier Vektoren mal dem Kosinus des eingeschlossenen Winkels. Das konnte man jetzt nach dem Winkel auflösen. 

Da ich hier jetzt den Winkel der Seitenkante zum Vektor der senkrecht zur Grundfläche steht habe ich eigentlich den Differenzwinkel zu 90 Grad. Also entweder kann ich 90 Grad minus dem errechneten Winkel nehmen oder ich nehme in der Formel gleich den Sinus um das auszugleichen.

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"Für das Spatprodukt braucht man 3 Vektoren. 2 Vektoren können nur eine Fläche aufspannen und kein Volumen."


""Für das Volumen der Pyramide nimmst du das Spatprodukt 

V = 1/6 * (AB x AC) * AS""


dann weiss ich nicht wie ich das rechnen soll :(
 

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AB x AC hast du ja bereits berechnet. Das war auch N.

Kannst du N * AS rechnen ? Wenn nein Warum nicht?

Kannst du den erhaltenen Wert mal 1/6 rechnen ? Wenn nein warum nicht ?

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wo benötige ich dann das spartprodukt ??

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Hast du den Artikel bei Wikipedia gelesen ?

https://de.wikipedia.org/wiki/Spatprodukt

Das Spatprodukt dreier Vektoren A, B und C kann mit (A x B) * C definiert werden.

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wie genau kommst du auf die formel für das volumen ? ist mir noch nicht ganz klar. spartprodukt ansich ist mir klar

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Also das Volumen des Spats ist klar ?

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich ja normal aus 1/3 * Grundfläche * Höhe.

Beim Spat haben wir dir Grundfläche aus dem Kreuzprodukt berechnet. Das ist die Fläche des aufgespannten Parallelogramms. Da wir aber nur das halbe Parallelogramm als Grundfläche haben müssen wir das Volumen durch 2 Teilen. Außerdem haben wir ja noch den Faktor 1/3, weil sich die Pyramide oben zu einem Punkt verjüngt. Dadurch ist der Vorfaktor dann 1/6 vor dem Spatprodukt.