Lineare Algebra 1. Suche ein Beispiel für g ist surjektiv aber g○f ist nicht surjektiv.

Question

Finde ein Gegenbeispiel zu den vier Aussagen von lemma 1.7

d.h. finde X, Y, Z und Abbildungen f:X →Y, g:Y→Z so dass gilt:

1. f ist injektiv, aber g○ f ist nicht injektiv.

2 g ist surjektiv aber g○f ist nicht surjektiv.

Könnt ihr mir helfen bin am verzweifeln :-(

Comments

Das Lemma 1.7 ist, das, waas du hier geschrieben hast? Oder sind dort irgendwelche Eigenschaften deiner Abbildungen vorgegeben?

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Nein nur was ich geschrieben hab

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Also da steht noch 1.7 lemma 1. Wenn die Verknüpfung g ○f injektiv ist dann auch f 2. Wenn g○ f subjektiv ist dann auch g 3. Wenn f, g injektiv sind dann auch g○f 4 wenn f, g subjektiv sind dann auch g○f

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Dann bist du also in der Wahl deiner Beispiele frei.

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Joa.. Jedoch hab ich eine Blockade oder keine ahnung. .

Answer 1

X: = {a,b}

Y: = {1,2,3,4}

Z := {u,v,w}

f: a---> 1, b----> 2         injektiv

g: 1---> u, 2-----> u, 3-----v, 4→w surjektiv

g(f(a)) = g(1) = u

g(f(b)) = g(2) = u. also g o f nicht injektiv.

und g o f nicht surjektiv, das v und w nicht als Bilder von a oder b auftauchen.

Answer 2

sei X = Y = Z = {0, 1}.

\( f : X \rightarrow Y \) sei durch f(0) = 0 und f(1) = 1 erklärt. \( g: Y \rightarrow Z \) sei durch g(0) = g(1) = 1 erklärt. Dann ist f injektiiv, g nicht injektiv und g * f wegen g(f(0)) = g(f(1)) = 1 nicht injektiv.

f ist übrigens surjektiv, aber g ist nicht surjektiv. Wir sehen, dass f * g wegen f(g(0)) = f(g(1)) = 1 nicht surjektiv ist, da kein Element auf die 0 abgebildet wird.

MfG

Mister

PS: Dieses Gegenbeispiel kann man besonders gut als Skizze mit Pfeilen und Mengen veranschaulichen, da X, Y und Z so wenig (nämlich 2) Elemente haben.

Comments

& wie sieht es aus wenn g ○ f injektiv ist aber g ist nicht injektiv Oder G○ f ist subjektiv aber f ist nicht surjektiv

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Dann sieht es anders aus.

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Ja aber wie? Ich verstehe es nicht

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Ich verstehe deine Frage nicht.