Form der Primzahlen bis 31

Question

Aufgabe:

Ich soll eine Form für die Primzahlen bis 31 formulieren. Als für 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31.

Problem/Ansatz:

Verstehe nicht wie

Comments

was ist mit 'Form' gemeint? Soll das eine Mengenbeschreibung sein - etwa so$$\{x|\space x\in \mathbb P \land x \lt 32\}$$?

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Ja genau das ist ich mein Problem was genau mit Form gemeint ist. Die Aufgabenstellung lautet wortwörtlich so: Formuliere eine Vermutung bezüglich der Primzahlen und Beweise sie.

Davor sollten wir das Sieb von Eratosthenos bis zur Zahl 31 erstellen, wobei die erste Spalte 7 Zahlen hat und die restlichen Reihen 6, so dass unter der 1 keine andere Zahl steht. Und die erste Spalte hat die Form 6n+2, n€N.

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Wenn die Aufgabe lautet "Formuliere eine Vermutung bezüglich der Primzahlen und beweise sie", dann sollst Du nicht schreiben, die Aufgabe laute "Ich soll eine Form formulieren"...

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Hab das Wort Form davor vergessen zu schreiben. Also ich soll eine Vermutung bezüglich der Form der Primzahlen formulieren. War schon korrekt.

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Also nochmal was anderes.

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Kannst du mir da weiterhelfen, wenn du verstanden hast was genau damit gemeint ist ?

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Davor sollten wir das Sieb von Eratosthenos bis zur Zahl 31 erstellen, wobei die erste Spalte 7 Zahlen hat und die restlichen Reihen 6, so dass unter der 1 keine andere Zahl steht. Und die erste Spalte hat die Form 6n+2, n€N.

Rätselhaft! wenn Du mit dem ersten 'erste Spalte' erste Zeile meinst und mit dem zweiten 'erste Spalte', die dann zweite Spalte meinst, und man außerdem \(n \in \mathbb N\) zu \(n \in \mathbb N_0\) macht, dann wird das daraus:$$\begin{array}{c}1& 2& 3& 4& 5& 6& 7\\ & 8& 9& 10& 11& 12& 13\\ & 14& 15& 16& 17& 18& 19\\ & 20& 21& 22& 23& 24& 25\\ & 26& 27& 28& 29& 30& 31\end{array}$$und dann stehen alle Primzahlen \(\ge 5\) in den Spalten mit der \(5\) und der \(7\); ausgenommen die \(5^2=25\).

Das Problem ist hier, das Problem zu beschreiben. Ist die Tabelle oben so richtig?

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Ja die ist korrekt. Hab’s genau so gemacht.

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Hallo,

in den Spalten mit 2; 4 und 6 stehen gerade Zahlen. Außer 2 sind es also keine Primzahlen.

Unter der 3 stehen alle Vielfachen von 3, die außer 3 auch keine Primzahlen sind. Es bleiben noch die Spalten mit der 5 und der 7, in denen Primzahlen stehen können.

Die Zahlen in der 5er-Spalte haben die Form 6n-1, die in der 7er-Spalte die Form 6n+1.

Die Primzahlen p ab 5 haben also die Eigenschaft |p-6n|=1.

Answer 1

{2,3,23}∪{6n±1, n∈{1,2,3,5}}

Comments

Hmm okay danke

Answer 2

Hallo,

Ok, nach den bisherigen Informationen lautet die Aufgabenstellung:

Formuliere eine Vermutung bezüglich der Form der Primzahlen und beweise sie

dann habt Ihr noch diese Tabelle 'besprochen' ...$$\begin{array}{c}1& 2& 3& 4& 5& 6& 7\\ & 8& 9& 10& 11& 12& 13\\ & 14& 15& 16& 17& 18& 19\\ & 20& 21& 22& 23& 24& 25\\ & 26& 27& 28& 29& 30& 31\end{array}$$... oder wie auch immer.

An Hand der Tabelle sieht man, dass sich alle Primzahlen \(\gt 3\) in den Spalten mit der 5 und der 7 befinden. Jetzt könnte man die Vermutung äußern, dass das generell so ist. Die Vermutung könnte also lauten:

"Jede Primzahl \(\gt 3\) hat bei der Division durch \(6\) den Rest \(1\) oder \(5\). "

Bem.: Der Rest \(1\) steht für die Zahlen der Spalte \(7\).

Um die Vermutung zu beweisen, kann man nun alle 6 möglichen Reste anschauen, die bei der Division durch 6 auftreten. Das sind die Zahlen 0 bis 5. D.h. man muss nur zeigen, dass Zahlen \(\gt 3\) mit den Resten 0, 2, 3 oder 4 keine Primzahlen sind.

Schaffst Du das?

Answer 3

Gibt es nicht so eine quadratische Gleichung, die die ersten Primzahlen bis 31 ergibt, danach aber scheitert?

Erinnere mich nur noch dunkel, oder verwechsle ich da was?

Comments

Gibt es nicht so eine quadratische Gleichung, die die ersten Primzahlen bis 31 ergibt ...

Ich denke nicht. also Du meinst eine Gleichung wie $$p(k) = \lfloor a_2k^2 + a_1k + a_0\rfloor \quad k \in \mathbb N_0$$wo dann die Primzahlen zumindest im Bereich \(\le 31\) raus purzeln.

Die beste quadratische Näherung für die Primzahlen von 5 bis 31 sieht so aus:

~plot~ {0|5};{1|7};{2|11};{3|13};{4|17};{5|19};{6|23};{7|29};{8|31};[[-1|9|-1|32]];4.9+x*(2.43+0.1126x) ~plot~

da fallen die 11, die 19 und die 23 aus dem Raster.

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Habs gefunden. An was ich mich erinnerte war

x^2-x+41

Hat also nichts mit der Fragestellung zu tun.