Ist die Funktion "1/3x5 +2x -7" punktsymmetrisch oder achsensymmetrisch?

Question

Aufgabe:

Ist die Funktion "1/3x⁵ +2x -7" punktsymmetrisch oder achsensymmetrisch?

Problem/Ansatz:

Eigentlich sind ganzrationale Funktionen mit ungeraden Exponenten ja punktsymmetrisch. Diese Funktion hat ja nur ungerade Exponenten (5 und die 1 bei 2x). Warum ist sie dann nicht punktsymmetrisch?

Answer 1

Alle Exponenten von x sind ungerade. Punktsymmetrie zu (0|-7).

Answer 2

Hallo,

Willkommen in der Mathelounge!

Die Funktion hat einen geraden Exponenten und zwar \(x^0\). Es ist$$f(x) = \frac 13 x^{5} + 2x-7x^{0}$$Deshalb ist sie auch nicht punktsymmetrisch bezogen(!) auf den Ursprung - d.h. den Punkt \((0|\,0)\). Aber sie ist punktsymmetrisch zu \((0|\,-7)\).

Nehme einen beliebigen Punkt \((a|\,f(a))\) auf der Funktion und berechne dessen punktsymmetrisches Pendant zu \((0|\,-7)\)$$\begin{pmatrix} a\\f(a) \end{pmatrix} \to 2\begin{pmatrix} 0\\-7 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} a\\f(a) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -a\\ -14-f(a) \end{pmatrix}$$dann liegt der gespiegelte Punkt$$f(-a) = -\frac 13a^5 - 2a - 7 = -\frac 13a^5 - 2a +7 - 7 - 7\\ \phantom{f(-a)}= -\left(\frac 13a^5 + 2a - 7\right) - 14 = -14-f(a)$$wieder auf der Funktion.

Gruß Werner

Comments

Danke für die Antwort!

Aber in meiner Funktion stand die 7 ja eigentlich alleine, ohne x ...?

Oder gehört das x^0 auch indirekt dazu oder wie?

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Oder gehört das x⁰ auch indirekt dazu oder wie?

Oh! ... auch so ein Frage, mit der ich nicht gerechnet habe. Man lernt doch immer wieder dazu.

Wenn Du eine beliebige Zahl (als Basis) mit dem Exponenten \(0\) versiehst, so ist das Ergebnis immer(!) \(=1\). Formal:$$a^0=1 \quad\forall a \in \mathbb R$$In Worten: Zahl hoch 0 ist immer 1, egal für welche Zahl, selbst für die 0. D.h. dass \(x^0\) natürlich auch \(x^0=1\) ist.

Außerdem könnte einem ja auch auffallen, dass den Polynomen - also Termen wie \(\frac 13x^5-2x-7\) - eine gewisse Systematik inne wohnt! Sowas wie$$p(x) = \frac 13x^{\color{red}5} + 0\cdot x^{\color{red}4} + 0\cdot x^{\color{red}3} + 0\cdot x^{\color{red}2} + 2x^{\color{red}1} - 7x^{\color{red}0}$$Fällt Dir das auf? \(\to 5,\,4,\,3,\,2,\,1,\,0\)

Answer 3

Hallo

da steht ja noch 7*x^0 und die 0 ist in diesem Zusammenhang "gerade"sie ist also nicht punktsymmetrisch zum 0 Punkt.  das kannst du schon daran sehen, dass sie nicht durch (0,0) geht (allerdings punktsymmetrisch zum Punkt (0,-7))

eigentlich muss man bei !punktsym immer dazu sagen zu welchem Punkt ,

Gruß lul