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Aufgabe:

Sei (an ) eine Folge. Zeigen Sie: Die Folge (an ) konvergiert genau dann, wenn jede der Teilfolgen (a2k ), (a2k-1 ) und (a3k ) konvergiert.

Gilt die Aussage auch, wenn (a3k ), als nicht konvergent angneommen wird, die anderen schon?


Problem/Ansatz:

Mein Problem ist folgende Aussage korrekt zu beweisen, vielen Dank im voraus.

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1 Antwort

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Wenn die Teilfolge (a2k ) konvergiert, ist ihr Grenzwert ein Häufungspunkt der Gesamtfolge.

Wenn die Teilfolge (a2k-1 ) konvergiert, ist ihr Grenzwert auch ein Häufungspunkt der Gesamtfolge.

Wichtig: Die beiden Teilfolgen decken die Gesamtfolge ab. Somit hat die Gesamtfolge höchstens zwei Häufungspunkte.

Die Folge (a3k )  bedient sich abwechselnd in den beiden angegebenen Teilfolgen.

Ist damit die Annahme von zwei (verschiedenen) Häufungspunkten noch zu halten?

Avatar von 55 k 🚀

Danke für deine schnelle Antwort und deine Tipp, ich hoffe ich habe deine Frage richtig verstanden und meine, dass es dann bei 2 Häufungspunkten bleibt, da aus a2n -> a und

a2n-1 folgt H((an )) = {-1,1}

Das hast du absolut falsch verstanden. Wenn auch (a3k ) konvergiert, bleibt kein Raum für zwei verschiedene Häufungspunkte in (a3k )

Wieso deiner Meinung nach ausgerechnet -1 und 1 Häufungspunkte sein sollen, ist auch völlige Spekulation.

Ja mein Fehler, meinte a und b, statt -1 und 1. kannst du mir vielleicht noch erklären, was mir nun die Erkenntnis der Häufungspunkte für meinen Beweis bringt?

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